Опубликован: 14.11.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3920 / 953 | Длительность: 03:51:00
Лекция 1:

Графический метод оптимизации линейных моделей

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >
Аннотация: Задачи линейного программирования с линейной целевой функцией и линейными ограничениями можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы представляют собой последовательность вычислений по некоторым правилам. Они являются основой для решения задачи на компьютере.

Цель лекции: Показать возможность графического решения задач с двумя неизвестными.

Математическое программирование занимается исследованием детерминированных и одноцелевых задач. Слово "программирование" в данном случае означает "планирование". К математическому программированию относится:

  1. Линейное программирование: нахождение экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.
  2. Нелинейное программирование:целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.
  3. Целочисленное программирование: особый случай в задачах линейного и нелинейного программирования, когда на оптимальные решения накладывается условие целочисленности искомых параметров.
  4. Динамическое программирование: для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом.
  5. Теория графов, с помощью которой решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

  • набор констант, характеризующих, например, наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы;
  • искомые переменные величины, например, количество запланированной к выпуску продукции по всему ассортименту;
  • максимум или минимум целевой функции, например, запланированной прибыли;
  • систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств, например, условие того, что расход материала не должен превышать его запас;
  • требование неотрицательности переменных (если не предусмотрено иное).

Решение практической задачи всегда связано с исследованием, с преобразованием некоторого объекта (материального или информационного) или с управлением им (рисунок 1.1).

Схема моделирования объекта (процесса)

Рис. 1.1. Схема моделирования объекта (процесса)

При решении "стандартной" задачи в линейном программировании нужно определить максимум линейной целевой функции

f(x)=\sum_{i=1}^n c_i x_i=c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots+ c_n x_n

при условиях

r_j=\sum_{i=1}^n a_{ij} x_i\le R_j j=1,2,\ldots, m

Здесь целевая функция формируется как скалярное произведение двух векторов. Один из них — вектор искомых переменных x_i. Компонентами другого вектора являются целевые коэффициенты с_i. Условия задачи можно сформулировать так: "Расход r_j не должен превышать имеющиеся ресурсы R_j". Вектор расхода r_j есть сумма произведений матрицы нормированных коэффициентов a_{ij} на вектор искомых переменных x_i.

Основной аналитический метод решения задач линейного программирования — это симплексный метод . Он сводится к вычислительной процедуре, основанной на принципе последовательного улучшения решений — перехода от одной базисной точки к другой, для которой значение целевой функции больше. Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов. Геометрическая интерпретация метода состоит в последовательном движении по вершинам симплекса (n-мерного тетраэдра). Симплекс-метод послужил исходным пунктом для разработки целого семейства алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных выпуклых задач оптимизации.

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >
Никита Козлов
Никита Козлов
Почему область решений была взята как многоугольник ОАВС. А как же точки (567;0) и (0;320). На мой взгляд, я бы выбрал многоугольник с точками О (567;0) (0;320). Ведь они являются областью пересечения двух ограничений
Alexander Vizelka
Alexander Vizelka
Россия
Георгий Салиев
Георгий Салиев
Россия