Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 464 / 49 | Длительность: 11:44:00
Лекция 4:

Оптимизационные модели

4.5. Оптимизация межотраслевого баланса

Возможность оптимизации межотраслевого баланса появляется, если коэффициенты прямых затрат отражают затраты не средние по отрасли, а для каждого способа и технологии производства. В таких моделях межотраслевого баланса представлено отдельно производство каждого вида продукции. Построение оптимизационных моделей межотраслевого баланса позволяет в условиях ограниченности ресурсов находить наиболее эффективные комбинации ресурсов для максимизации конечного продукта [22].

Задача 4.7.

Крупное структурное предприятие состоит из 6 подразделений, каждый из которых выпускает по 1 виду продукции. Отношения между подразделениями определены технологической матрицей прямых затрат. В таблице 4.8 указаны нормы прямых затрат подразделений, используемых в качестве промежуточного продукта для выпуска единицы продукции для каждого подразделения. Известны максимально допустимые ресурсы подразделений предприятия. Известны цены на готовую продукцию, которая направляется на внешний рынок. Оптимизировать новую программу – плановую валовую продукцию, так, чтобы распределение готовой продукции на собственные потребности и экспорт, давало максимальный доход от реализованной продукции.

Таблица 4.8.
Подразделение 1 Подразделение 2 Подразделение 3 Подразделение 4 Подразделение 5 Подразделение 6 Цена
Подразделение 1 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,12 2
Подразделение 2 0,03 0,05 0,06 0,08 0,1 0,13 6
Подразделение 3 0,05 0,07 0,07 0,09 0,11 0,14 3
Подразделение 4 0,07 0,09 0,08 0,1 0,12 0,15 7
Подразделение 5 0,09 0,11 0,09 0,11 0,13 0,16 8
Подразделение 6 0,11 0,13 0,1 0,12 0,14 0,17 1
Ресурсы подразделений 400 300 900 500 450 250

Модель задачи.

Входные переменные:

  • n –количество подразделений , i – текущий номер подразделения - производителя, j – текущий номер подразделения-потребителя
  • A_(ij)\; (i,j=\overline{1,n}) - матрица прямых затрат,
  • C_i - цены на готовую продукцию, которая направляют на внешний рынок,
  • M_j – допустимые мощности подразделений, ресурсы,

Управляемые переменные - X_j - вектор плановой валовой продукции.

Выходные показатели –

Y_j -. конечная продукция подразделений,

Y=(E-A)\cdot X - в соответствии с уравнением межотраслевого баланса, Z(X) - доход от реализации конечной продукции на внешнем рынке..

Целевая функция –оптимизируемый параметр – доход от реализации конечной продукции.

Z(X)= (E-A)\cdot X \cdot C

Z(X)\to \max

Ограничения.

X_j\le M_j – ресурсные ограничения

(E-A)\cdot X > 0 – конечный продут положителен,

X_j\ge 0

В результате имеем систему уравнений.


\left\{  
\begin{array}{lc}  
X_j\le M_j \\ 
(E-A)\cdot X > 0 \\
X_j\ge 0\\ 
Z(X)=(E-A)\cdot X \cdot C \to \max
\end{array}   
\right\
( 4.12)

Решение. В программе Mathcad задача решается в матричном виде, аналогично всем приведенным примерам. Система уравнений с оптимизацией решается численно с помощью блока given и функции maximize().

Входные данные

ORIGIN:=1

i:=1..6, \; j:=1..6

Матрица промежуточных потоков затрат: A:=\begin{pmatrix} 0.01 & 0.03 & 0.05 & 0.07 & 0.09 & 0.12\\ 0.03 & 0.05 & 0.06 & 0.08 & 0.1 & 0.13\\ 0.05 & 0.07 & 0.07 & 0.09 & 0.11 & 0.14\\ 0.07 & 0.09 & 0.08 & 0.1 & 0.12 & 0.15\\ 0.09 & 0.11 & 0.09 & 0.11 & 0.13 & 0.16\\ 0.11 & 0.13 & 0.1 & 0.12 & 0.14 & 0.17 \end{pmatrix}

Ресурсы подразделений: M:=\begin{pmatrix} 400\\ 300\\ 900\\ 500\\ 450\\ 250 \end{pmatrix}

Цена: C:=\begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 3\\ 7\\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}

E:=identity(6) – единичная матрица

X – валовый планируемый выпуск

(E-A)\cdot Xвектор конечной продукции

Z – доход от реализации конечной продукции – целевая функция

Оптимизация дохода: Z - \max

Решение:

Z(X):=[(E-A)\cdot X]\cdot C, v1_i:=1 – единичный вектор

Начальные значения:

X_j:=1, A\cdot diag(X)\cdot v1затраты – сумма по столбцам

Given

X\le M

(E-A)\cdot X > 0

X\ge 0

X1:=Maximixe (Z,X)

Оптимальный план валового выпуска: X1:=\begin{pmatrix} 131\\ 300\\ 311\\ 500\\ 450\\ 250\end{pmatrix}

Конечная продукция: Y:=(E-A)\cdot X1, Y:=\begin{pmatrix} -0\\ 145\\ 132\\ 297\\ 224 \\ 0 \end{pmatrix}

Оптимальный доход: Z(X1)=5137

Промежуточные поставки: A\cdot diag(X1), A\cdot diag(X1):=\begin{pmatrix} 1.313 & 9 & 15.526 & 35 & 40.5 & 30 \\ 3.94 & 15 & 18.632 & 40 & 45 & 32.5 \\ 6.567 & 21 & 21.737 & 45 & 49.5 & 35\\ 9.194 & 27 & 24.842 & 50 & 54 & 37.5 \\ 11.821 & 33 & 27.947 & 55 & 58.5 & 40 \\ 14.447 & 39 & 31.053 & 60 & 63 & 42.5\end{pmatrix}

Затраты – суммы по столбцам S:= A\cdot diag(X1) \cdot v1, S:=\begin{pmatrix} 131.34\\ 155.072\\ 178.804\\ 202.536\\ 226.268\\ 250\end{pmatrix}

Валовая продукция, конечный продукт

Рис. 4.7. Валовая продукция, конечный продукт
Затраты

Рис. 4.8. Затраты

Основные итоги

Рассмотрены основные типы оптимизационных задач.

Задача формирования оптимальной производственной программы - три модели: модель получения максимальной прибыли без заданного плана и с планом, модель в комплектной постановке - получение максимальной доли плана выпуска продукции при нехватке ресурсов, т-модель - нахождения минимума дополнительного количества ресурсов, необходимых для выполнения полного плана. Две модели транспортной задачи. Задача оптимального комплектования штата работников. Задача максимизации конечного продукта в схеме межотраслевого баланса. Для каждой задачи определены входные данные, построена математическая модель. Каждая модель представлена в Mathcad в виде системы матричных уравнений. Системы уравнений решены численно - в блоке given\; maximize\; (minimize). Построены диаграммы результирующих данных.

Ключевые термины

Оптимизационная задача – задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия варианта использования имеющихся ресурсов.

Оптимизационная модель математическая модель решения оптимизационной задачи.

Математическое программирование - направление математики, изучающее методы решения оптимизационных задач.

Целевая функцияфункция, определяющая критерий оптимальности в оптимизационной задаче.

Управляемые переменные - переменные целевой функции, которые подвергаются изменению в процессе поиска решения.

Ограничения – системы уравнений и неравенств, ограничивающих область решения оптимизационной задачи в соответствии с заданными условиями.

Нормированная стоимость - изменение целевой функции при изменении соответствующего управляемого параметра на единицу.

Транспортная задача - оптимизационная задача оптимального прикрепления потребителей к поставщикам при доставке грузов.

Задача оптимального распределения трудовых ресурсов – оптимизационная задача распределения трудовых ресурсов при выбранном критерии оптимальности.