Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 464 / 49 | Длительность: 11:44:00
Лекция 4:

Оптимизационные модели

1. Выполнение части плана из имеющихся ресурсов

Решение задачи 4.3 в комплектной постановке. Задача - определить, какую часть плана можно выполнить при имеющихся ресурсах. Для этого случая воспользуемся моделью, приведенной в [21]. Ставится цель определения максимальной доли выпуска требуемого плана при имеющихся ресурсах. Разработана "комплектная" постановка задачи. Вводится новая переменная y – возможный процент достижения плана, определяется ее оптимальное значение при уменьшенном плане, ресурсные и технологические ограничения задачи записываются без изменений.: Целевая функция K(y,x_j ) строится как функция двух аргументов: скаляра y и вектора переменных продукции x_j,\;j=\overline{1,m}, который неявно зависит от y. .Решение получается в виде вектора y1 с элементами y1_1 - .найденная доля выполнения плана и y1_2.- найденный вектор переменных продукции.

Система уравнений в "комплектной" постановке


\left\{  
\begin{array}{lc}  
K(x_j,y)\to\max
\sum_{j}^{m}a_{ij}\cdot x_j\le B_i \\ 
x_j\ge P_j\cdot y\\ 
x_j\ge 0 \\  
\end{array}   
\right\
( 4.6)

Ниже приведен листинг решения в MathCad (комплектная постановка).

Входные данные

c:=\begin{pmatrix} 10000 & 35000 & 20000 \end{pmatrix} - цена реализации

q:=\begin{pmatrix} 1800 & 2700 & 2100\end{pmatrix} - затраты на один компьютер

d:=c-q - прибыль на один компьютер

P:=\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - план выпуска

Z(x) – прибыль

Матрица затрат ресурсов: >a:=\begin{pmatrix} 4& 6& 5 \\ 1& 3& 4 \\ 5& 2& 3 \\ 2& 2& 2 \\ 1& 2& 3 \\ \end{pmatrix}

Матрица запасов ресурсов: B:=\begin{pmatrix} 240 \\ 145\\ 155 \\ 60 \\ 70 \end{pmatrix}

Начальные значения: x:=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}, y:=1

Решение:

Z(x):=d\cdot x

K(y,x):=y – целевая функция

Given

a\cdot x \le B

x \ge P \cdot y

y1:=Maximize(K,y,x), y1:=\begin{pmatrix} 0.429\\ \{3.1\} \end{pmatrix}

Доля плана: y1_1=0.43

Количество выпуска: y1_2:=\begin{pmatrix} 17 \\ 9\\ 4 \end{pmatrix}

Прибыль: Z(y1_2):= 494143

Израсходовано ресурсов: a\cdot y1_2:=\begin{pmatrix} 141 \\ 60\\ 116 \\ 60 \\ 47 \end{pmatrix}

Остаток ресурсов: B-a\cdot y1_2:=\begin{pmatrix} 99\\ 85\\ 39\\ 0\\23\end{pmatrix}

Как видно, план можно выполнен только на 43%, но это оптимальный процент при имеющихся условиях. Полученная прибыль при таком плане еще меньше, чем в задаче 4.2 и ресурсов остается больше.

2. Добавление минимального количества ресурсов для выполнения плана

Решение задачи 4.3 с добавлением ресурсов. Добавление недостающих ресурсов для выполнения полного плана. Воспользуемся t-моделью постановки задачи, представленной в [21], - нахождения минимума дополнительного количества ресурсов, необходимых для выпуска продукции в соответствии с планом. В предлагаемой t-модели вводятся новые переменные t_i,\;i=\overline{1,n} – значения дополнительных ресурсов каждого вида продукции i. Цель задачи – минимум суммарного количества добавляемых ресурсов. В ресурсные ограничения вводятся дополнительные неизвестные ресурсы, плановые и технологические ограничения вводятся в t-модель без изменений. Целевая функция T(x,t) вводится как функция двух аргументов: вектора добавочных ресурсов t_i,\;i=\overline{1,n} и вектора переменных продукции x_j,\;j=\overline{1,m} , который неявно зависит от t_j

Система уравнений в постановке t -модели


\left\{  
\begin{array}{lc}  
T(x_j,t_i)=\sum_{i}^{n}to\min
\sum_{j}^{m}a_{ij}\cdot x_j\le B_i+t_i \\ 
x_j\ge P_j \\ 
x_j\ge 0 \\  
\end{array}   
\right\
( 4.7)

Листинг решения в Mathcad показан ниже. .Решение получается в виде двумерной переменной t1 с элементами t1_1 найденный вектор продукции. и t1_2, найденный вектор добавочных ресурсов

Далее, имея полученные значения добавочных ресурсов, решаем исходную задачу. На диаграммах показаны старые ресурсы, новые ресурсы. Видны добавочные ресурсы, добавлено ровно столько, чтобы выполнить план. В результате план выполняется и ресурсов не остается

Входные данные

c:=\begin{pmatrix} 10000 & 35000 & 20000 \end{pmatrix} - цена реализации

q:=\begin{pmatrix} 1800 & 2700 & 2100\end{pmatrix} - затраты на один компьютер

d:=c-q - прибыль на один компьютер

P:=\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - план выпуска

Z(x) – прибыль

Матрица затрат ресурсов: >a:=\begin{pmatrix} 4& 6& 5 \\ 1& 3& 4 \\ 5& 2& 3 \\ 2& 2& 2 \\ 1& 2& 3 \\ \end{pmatrix}

Матрица запасов ресурсов: B:=\begin{pmatrix} 240 \\ 145\\ 155 \\ 60 \\ 70 \end{pmatrix}

Начальные значения: x:=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}, t:=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}

Решение:

Z(x):=d\cdot x

T(x,t):=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5 – добавочные ресурсы

Given

a\cdot x \le B+t

x \ge P

t1:=Minimize(T,x,t)

t1:=\begin{pmatrix} \{3.1\}\\ \{5.1\} \end{pmatrix}

Вектор решений – количество компьютеров: t1_1:=\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix}

Добавочные ресурсы: t1_2:=\begin{pmatrix} 90\\ -5\\ 115 \\ 80 \\ 40 \end{pmatrix}

Новые ресурсы: B+t1_2:=\begin{pmatrix} 330\\ 140\\ 270\\ 140\\ 110\end{pmatrix}

Прибыль: Z(t1_1)=1153000

План: P:=\begin{pmatrix} 40\\ 20\\ 10\end{pmatrix}

Ресурсы: B1:=\begin{pmatrix} 330\\ 140\\ 270\\ 140\\ 110\end{pmatrix}

Начальные значения: x:=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}

Z(x):=d\cdot x

T(x,t):=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5 – добавочные ресурсы

Given

a\cdot x \le B1

x \ge P

x:=Maximize(Z,x)

x=\begin{pmatrix} 40\\ 20\\ 10\end{pmatrix}, Z(X)=1153000

Новые ресурсы: B1=\begin{pmatrix} 330\\ 140\\ 270\\ 140\\ 110\end{pmatrix}

Старые ресурсы: B=\begin{pmatrix} 240\\ 145\\ 155\\ 60\\ 70\end{pmatrix}

Остаточные ресурсы, новый выпуск: B1-a\cdot x=\begin{pmatrix} -0\\ 0\\ -0\\ -0\\ -0\end{pmatrix}