Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Стоимость обучения с персональным тьютором:
500 руб. [?]
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Для всех
Длительность:
16:44:00
Студентов:
582
Курс по математическому анализу для студентов компьютерных специальностей.
Вещественные числа. Предел числовой последовательности. Предел и непрерывность функции одной переменной. Дифференцирование функций одной переменной. Интегрирование функций одной переменной. Исследование функции и построение её графика. Определённый интеграл Римана. Приложения и приближённые вычисления интеграла Римана. Предел последовательности в En и предел функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Неявные функции, зависимость и независимость функций. Локальный экстремум (условный и безусловный) функции нескольких переменных. Числовые ряды. Бесконечные произведения, двойные и повторные ряды.
 

План занятий

Глава <<
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
 
2 часа 30 минут
-
Глава 1 <<
 
Введение
 
 
Лекция 1
6 минут
Предмет математического анализа
Вводная лекция содержит приветствие автора курса и информацию об общей направленности курса, включая акцент на "живые" практические занятия в Mathcad. Автор подчеркивает, что курс относится к математическому анализу функции одной переменной и включает основы дифференциального и интегрального исчисления.
-
 
Лекция 2
8 минут
Уравнение прямой на плоскости
Лекция посвящена основам аналитической геометрии: рассматривается уравнение прямой на плоскости, вводится понятие наклона прямой. Обсуждаются уравнения параллельных и перпендикулярных прямых.
-
 
Лекция 3
7 минут
Графики на плоскости - секущая и касательная
Рассматривается задача построения секущей через две точки графика некоторой функции. Обсуждается понятие касательной к графику, как предельного значения секущих, проходящих через две близкие точки графика.
-
 
Лекция 4
8 минут
Пример построения касательной
Приводится пример отыскания секущей и касательной для графика квадратичной функции.
-
 
Тест 1
30 минут
-
Глава 2 <<
 
Производная функции
 
 
Лекция 5
7 минут
Производная функции в точке. Вычисление наклона касательной
Вводится определение производной функции в точке. Обсуждается равенство значения производной функции в точке наклону касательной к графику функции в этой точке. Выписывается уравнение касательной.
-
 
Лекция 6
6 минут
Пример вычисления производной функции f(x)=x^2
Приводится пример вычисления производной функции f(x)=x^2+b в точке х=а (согласно определению производной, как предела). Обсуждается независимость производной от добавления к функции константы.
-
 
Лекция 7
10 минут
Правая и левая производная
Вводится определение правой и левой производных функции в точке, как правого и левого предела, соответственно. Приводится пример расчета правой и левой производных для кусочно-непрерывной функции.
-
 
Лекция 8
8 минут
Недифференцируемые функции* Пример: функция Вейерштрасса
Лекция вводит понятие дифференциала, при помощи которого определяется дифференцируемость функций. Приводится пример всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции Вейерштрасса.
-
 
Лекция 9
8 минут
Производная функции с физической точки зрения
Приводится несколько физических примеров применения производной: расчет скорости и ускорения для объекта, свободно падающего в поле тяжести.
-
 
Тест 2
33 минуты
-
Глава 3 <<
 
Предел функции
 
 
Лекция 10
8 минут
Понятие предела
В упрощенном варианте вводится понятие предела функции в точке. Обсуждается математический смысл предела (на примере серии графиков функции во все более мелком масштабе). Приводится пример вычисления предела функции в точке, в которой функция не определена.
-
 
Лекция 11
7 минут
Правила вычисления пределов
Рассматриваются правила определения пределов: предел суммы, разности, произведения, частного, а также предел сложной функции.
-
 
Лекция 12
7 минут
Примеры вычисления пределов
Рассматривается решение нескольких задач по нахождению пределов (от степенной функции, полинома, рациональной дроби).
-
 
Лекция 13
6 минут
Лемма о сэндвиче
Доказывается "лемма о сэндвиче", которая будет использоваться для вычисления нескольких пределов, имеющих ключевое значение.
-
 
Лекция 14
9 минут
Два тригонометрических предела
Вычисляются два тригонометрических предела.
-
 
Лекция 15
9 минут
Бесконечные пределы
В заключительной лекции главы рассматривается вычисление бесконечных пределов.
-
 
Тест 3
30 минут
-
Глава 4 <<
 
Непрерывность функций
 
 
Лекция 16
10 минут
Непрерывность функций
Дается определение непрерывности функции в точке, на интервале, на сегменте. Приводится несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Подчеркивается, что для непрерывности функции в точке необходимо выполнение трех условий: существование функции в точке, предела функции в этой точке, и их
-
 
Лекция 17
8 минут
Классификация точек разрыва
Приводится несколько примеров разрывных функций и дается классификация точек разрыва: устранимые разрывы, разрывы 1-го и 2-го рода (в англоязычной литературе – removable, jump, infinite, essential).
-
 
Лекция 18
6 минут
Связь дифференцируемости и непрерывности
Доказывается теорема о непрерывности функции, дифференцируемой на интервале. Приводится пример неверности обратного утверждения.
-
 
Лекция 19
4 минуты
Примеры
Обсуждается несколько примеров непрерывных и разрывных функций. Решаются типовые задачи, связанные с непрерывностью и классификацией точек разрыва.
-
 
Тест 4
30 минут
-
Глава 5 <<
 
Правила дифференцирования
 
 
Лекция 20
5 минут
Простейшие правила дифференцирования
Лекция посвящена простейшим правилам: вычисление производной функции-константы, произведения функции на константу, а также суммы и разности двух функций.
-
 
Лекция 21
3 минуты
Дифференцирование произведения и отношения
При помощи определения производной функции выводятся формулы дифференцирования произведения и отношения двух функций.
-
 
Лекция 22
5 минут
Производная полинома
Пользуясь выведенными простейшими правилами дифференцирования, несложно получить формулы для вычисления производной степенной функции (с положительным и отрицательным целым показателем степени), а также полиномов.
-
 
Лекция 23
4 минуты
Производные тригонометрических функций
Рассматривается вопрос вычисления производных базовых тригонометрических функций (sin, cos). При помощи полученных результатов вычисляются производная тангенса.
-
 
Лекция 24
3 минуты
Примеры
Рассматривается несколько примеров вычисления производных на основе доказанных правил дифференцирования (полинома, произведения, отношения, тригонометрических функций).
-
 
Тест 5
30 минут
-
Глава 6 <<
 
Дифференцирование сложных и неявных функций
 
 
Лекция 25
6 минут
Дифференцирование сложной функции
Рассматривается вычисление производной сложной функций, называемое в англоязычной литературе "chain rule" ("правило цепочки"). Приводится несколько примеров.
-
 
Лекция 26
5 минут
Вторая производная. Производные высших порядков.
Вводится понятие второй производной функции (как производной от ее первой производной). Аналогично, определяются и производные высших порядков (3-я, 4-я и т.д.). Обсуждается графический смысл 2-й производной (связь с выпуклостью графика)
-
 
Лекция 27
6 минут
Примеры
Приводится несколько примеров на применение правила дифференцирования сложной функции и вычисления производных высших порядков. В частности, рассматриваются задачи на дифференцирование тригонометрических функций и физические примеры вычисления скорости и ускорения.
-
 
Лекция 28
7 минут
Пример: вычисление скорости и ускорения
Вводится понятие неявной функции и основная идея вычисления производной неявной функции. В качестве примера неявной функции приводится петля Декарта x^3 + y^3 = 3axy.
-
 
Тест 6
30 минут
-
Глава 7 <<
 
Дифференцирование различных функций
 
 
Лекция 29
7 минут
Экспоненциальная функция
Рассматривается задача вычисления производной показательной функции f(x)=ax. Отыскивается значение показателя a=e=2.7, при котором производная равна самой функции f(x)=f’(x)=ex. Обсуждается другой вид определения числа e (через соответствующий предел).
-
 
Лекция 30
4 минуты
Дифференцирование показательной функции
На основе свойств производной экспоненциальной функции решается задача дифференцирования показательной функции f(x)=ax с произвольным показателем a.
-
 
Лекция 31
5 минут
Дифференцирование гиперболических функций
екция посвящена дифференцированию функций, образованных от экспоненциальной: логарифмических и гиперболических. Вводятся понятия натурального логарифма, sinh, cosh, th. Вычисляется производная обратной функции.
-
 
Лекция 32
5 минут
Пример
Рассматриваются несколько примеров вычисления производных некоторых комбинаций экспоненциальной, логарифмической и гиперболических функций.
-
 
Тест 7
33 минуты
-
Глава 8 <<
 
Аппроксимация функций
 
 
Лекция 33
5 минут
Линейная аппроксимация
На основе определения производной решается задача приближения (или, по-другому, аппроксимации) функции f(x) линейной функцией y=ax+b в точке. В качестве прямой линии, приближающей в точке х=а график f(x) берется касательная к графику f(x) в точке а. На нескольких примерах исследуется, насколько близко линейное приближение к функции f(x).
-
 
Лекция 34
6 минут
О разложении функции в ряд
Качественно рассматривается более общая задача - приближение функции f(x) в некоторой точке а степенным рядом. Приводится несколько примеров и оцениваются погрешности.
-
 
Лекция 35
6 минут
Квадратичная аппроксимация
Рассматривается задача аппроксимации функции f(x) квадратичной функцией y=ax^2+bх+с в точке а. Устанавливается связь между коэффициентами a, b, c и значениями первой и второй производной.
-
 
Лекция 36
6 минут
Численное дифференцирование
Рассматривается разностное вычисление производной функции в точке при помощи линейной аппроксимации. Анализируются сопутствующие ошибки округления. Аналогично строится разностное выражение для 2-й производной.
-
 
Тест 8
30 минут
-
Глава 9 <<
 
Исследование графиков функций
 
 
Лекция 37
7 минут
Максимум и минимум функции
Лекция посвящена исследованию графиков функций на монотонность и отыскание локальных максимума и минимума, выпуклости и точек перегиба графика.
-
 
Лекция 38
8 минут
Связь экстремума с 1-й производной
Устанавливается связь точек экстремума функции f(x) с поведением ее 1-й производной f'(х). Функция f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке a, если в этой точке f'(a)=0.
-
 
Лекция 39
4 минуты
Теорема о наибольшем значении
Обсуждается теорема о наибольшем значении (EVT, теорема Вейерштрасса), говорящая об ограниченности непрерывной функции на сегменте (закрытом интервале) и о достижении функцией наибольшего (и наименьшего) значения на этом сегменте.
-
 
Лекция 40
6 минут
Связь особых точек со 2-й производной
Рассматривается связь поведения 2-й производной функции f''(х) с выпуклостью графика f(x). Показывается, что f''(х)=0 в точках перегиба функции. Устанавливается критерий отыскания точек максимума и минимума функции по значениям первой и второй производной f' (a) и f''(a).
-
Глава 10 <<
 
Теоремы о функциях, непрерывных на интервале
 
 
Лекция 41
8 минут
Теорема Ролля
Обсуждается теорема Ролля, говорящая о том, что производная функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на закрытом интервале (сегменте [a,b]), хотя бы один раз обращается в ноль внутри сегмента при условии f(a)=f(b).
-
 
Лекция 42
6 минут
Теорема о среднем значении (MVT)
Лекция посвящена теореме Вейерштрасса о среднем значении (mean value theorem). Она утверждает, что для функции f(x), непрерывной и дифференцируемой на сегменте [a,b], в некоторой точке сегмента выполнено соотношение: f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
-
 
Лекция 43
6 минут
Особые точки функции
Лекция резюмирует основные шаги исследования графика функции: 1. Поиск особых точек и значения функции в особых точках; 2. Исследование знака 1-й производной f'(х) между особыми точках. 3. Отыскание нулей функции f(x); 4. Поведение функции f(x) на бесконечности; 5. Поведение функции f(x) вблизи точек, в которых она не определена.
-
 
Лекция 44
7 минут
Пример: полное исследование полиномиальной функции
В качестве иллюстрации приводится полное исследование функции (на примере полинома): отыскание нулей и особых точек, для которых затем диагностируется достижение максимума и минимума (по значениям первой и второй производной).
-
Глава 11 <<
 
Неопределенный интеграл
 
 
Лекция 45
5 минут
Антипроизводная функции
Обсуждается процедура "анти-дифференцирования" (обратная дифференцированию функции) и вводится понятие антипроизводной. На основании теоремы о среднем значении показывается, что для данной функции существует бесконечное число антипроизводных, отличающихся друг от друга на константу.
-
 
Лекция 46
5 минут
Неопределенный интеграл: основные понятия
Вводятся начальные понятия интегрального исчисления: первообразная (то же, что антипроизводная), неопределенный интеграл, подынтегральная функция, интегрирование по переменной. Приводятся примеры вычисления неопределенного интеграла.
-
 
Лекция 47
4 минуты
Правила интегрирования
На основе известных правил дифференцирования выводятся соответствующие правила интегрирования. Указывается, что далеко не все элементарные функции удается проинтегрировать аналитически. В частности, отмечается, что не существует формулы для вычисления интеграла от произведения функций.
-
 
Лекция 48
4 минуты
Примеры
Приводится несколько примеров вычисления неопределенных интегралов на основе выведенных правил интегрирования и общих соображений.
-
 
Лекция 49
3 минуты
Интегрирование подстановкой
Представлена техника вычисления неопределенных интегралов при помощи подстановки (через вспомогательную переменную). Подстановка основана на применении аналога формулы дифференцирования сложной функции.
-
Глава 12 <<
 
Дифференциальные уравнения
 
 
Лекция 50
6 минут
Дифференциал
Вводится понятие дифференциала функции. Иллюстрируется связь дифференциала и 1-й производной. Приводится пример практического применения дифференциала.
-
 
Лекция 51
5 минут
Дифференциальные уравнения
Лекция посвящена введению в обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассматривается постановка задачи Коши, общее и частное решение дифференциального уравнения. Приводится несколько примеров численного решения дифференциальных уравнений.
-
 
Лекция 52
4 минуты
Метод разделения переменных
Приводится геометрическая интерпретация решения дифференциальных уравнений. Объясняются методы конечных разностей и разделения переменных.
-
 
Лекция 53
6 минут
Примеры: линейное движение
В качестве примеров решения дифференциальных уравнений приводится решение уравнений одномерного движения объекта в поле тяжести.Раскрывается смысл начального условия.
-
Глава 13 <<
 
Определенный интеграл
 
 
Лекция 54
7 минут
Интегральная сумма
Обсуждаются пути решения второй основной задачи математического анализа: вычисление площади под графиком. Вводится понятие интегральных сумм (Римана): левой, правой, верхней, нижней, и определенного интеграла, как их предела.
-
 
Лекция 55
7 минут
Определенный интеграл
Дается определение определенного интеграла, как предела Римановой суммы. Приводится несколько примеров вычисления определенного интеграла (с одной стороны, геометрически, как площади фигуры; и с другой – путем вычисления пределов интегральных сумм).
-
 
Лекция 56
5 минут
Определенный интеграл: замечания
Приводится несколько важных замечаний, связанных с понятием определенного интеграла. Обсуждаются некоторые свойства определенного интеграла.
-
 
Лекция 57
5 минут
Расчет определенного интеграла
На основе введенного определения для квадратичной функции производится построение интегральной суммы и последующий расчет определенного интеграла (как предела интегральной суммы).
-
Глава 14 <<
 
Основные формулы интегрального исчисления
 
 
Лекция 58
6 минут
1-я фундаментальная теорема мат.анализа
Обсуждается введенная ранее основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла), которая формулируется в виде "1-й фундаментальная теорема математического анализа".
-
 
Лекция 59
7 минут
Интеграл с переменным верхним пределом
Дается определение интеграла с переменным верхним (нижним) пределом. Считается его производная по переменной верхнего предела. Обсуждается разница между переменной интегрирования и переменной верхнего предела.
-
 
Лекция 60
7 минут
Фундаментальные теоремы мат.анализа (вывод)
На основе использования интеграла с переменным верхним пределом выводятся обе фундаментальные теоремы математического анализа. Доказывается, что (первообразной) подынтегральной функции является интеграл с переменным верхним пределом.
-
 
Лекция 61
6 минут
2-я фундаментальная теорема мат.анализа
Формулируется 2-я фундаментальная теорема, утверждающая, что производная интеграла с переменным верхним пределом является равна подынтегральной функции. Предлагается простой алгоритм расчета определенного интеграла через вычисление неопределенного интеграла.
-
Глава 15 <<
 
Применение определенных интегралов
 
 
Лекция 62
6 минут
Определение логарифма и экспоненты
На основании 2-й фундаментальной теоремы предлагается переопределение логарифмической функции, как интеграла с переменным верхним пределом от функции 1/х. Исследуется график введенной функции. Через логарифм определяется число е и экспоненциальная функция.
-
 
Лекция 63
5 минут
Вычисление площади фигуры
Согласно определению определенного интеграла рассчитывается площадь плоской фигуры, ограниченная двумя кривыми. Для вычисления точек пересечения кривых применяется численное решение нелинейного уравнения.
-
 
Лекция 64
4 минуты
Вычисление объема при помощи сечений
Рассматривается метод расчета объема тел посредством разбиения на параллельные сечения и последующего интегрирования. Приводится пример применения определенного интеграла для вычисления объема конуса и шара.
-
 
Лекция 65
5 минут
Вычисление объема тела вращения
Приводится пример применения вычисления определенного интеграла для вычисления объема тела вращения (конуса). Метод обобщается на вращение произвольной функции f(x) вокруг оси x. Обсуждается возможность вычисления площади тела вращения.
-
Глава 16 <<
 
Методы вычисления определенных интегралов
 
 
Лекция 66
6 минут
Интегрирование подстановкой
В качестве первого приема вычисления определенного интеграла рассматривается метод расчет неопределенного интеграла при помощи подстановки (через вспомогательную переменную).
-
 
Лекция 67
4 минуты
Интегрирование по частям
Рассматривается метод вычисления определенного интеграла "по частям", обоснованием которого служит правило дифференцирования произведения двух функций. Приводятся примеры расчета интеграла "по частям".
-
 
Лекция 68
4 минуты
Численное интегрирование
Обсуждается основная идея приближенного (численного) расчета определенного интеграла, согласно его определению. Для расчета площади соответствующей плоской фигуры применяются методы прямоугольников, трапеций и Симсона. Приводится оценка погрешности численного интегрирования.
-
 
Лекция 69
5 минут
Несобственные интегралы
Вводится понятие несобственного интеграл. В частности, интегрирование в бесконечных пределах определяется, как двойной предел, к которому сходятся интегральные суммы при стремлении предела к бесконечности. Приводятся примеры сходящихся и расходящихся несобственных интегралов.
-
Глава 17 <<
 
Вычисление средних значений
 
Глава 18 <<
 
Функции, заданные параметрически. Полярные координаты
 
Глава 19 <<
 
Неопределённости
 
Глава 20 <<
 
Бесконечные последовательности и ряды
 
Глава 21 <<
 
Разложение в ряд Тейлора
 
 
1 час 40 минут
-
Наталья Бирюкова
Наталья Бирюкова

 

 

Арсений Гущин
Арсений Гущин

Друзья, есть идеи как получить доступ к материалам группы из мобильного приложения (iOS)?

Спасибо.

Анатолий Федоров
Анатолий Федоров
Россия, Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 1989
Roman Yushin
Roman Yushin
Россия