Опубликован: 13.05.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 791 / 208 | Длительность: 13:46:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 6:

Средние величины в статистике

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >

6.2. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая величина является модифицированной формой средней арифметической. Она применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются для каждого xi произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т.д. [F_{i} = x_{i}'  f_{i}]. Величиной Fi может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете их средней цены; фонд заработной платы по отдельным категориям работников при расчете средней заработной платы и т.д. Ситуаций, когда нам известны не частоты, а произведения частот на соответствующие им варианты при расчете средней величины, более чем достаточно.

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

где Fi - произведения вариант на соответствующие им частоты;

xi - варианты.

Если мы для каждой варианты рассчитаем частоту как то формула средней гармонической взвешенной превратится в формулу для расчета средней арифметической взвешенной:

Пример 6.5. Вернемся к примеру 6.2, где рассчитывалась средняя заработная плата 20 работников малого предприятия. Предположим, что изначально были известны данные об уровне заработной платы для каждой группы работающих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда для расчета средней заработной платы необходимо определить численность работающих в каждой группе. Для этого разделим фонд заработной платы каждой группы работающих на их уровень заработной платы (см. графу 3 в таблице). Тогда, разделив общий фонд заработной платы на общую численность работающих, получим их среднюю заработную плату.

Таблица 6.5. Расчет средней гармонической
Исходные данные Расчетный показатель
заработная плата, руб. фонд заработной платы, руб. численность работающих, чел.
1 2 3
xi Fi Fi / xi
5 950 35 760 6
6 790 54 320 8
7 000 42 000 6
Итого 132 080 20

Как видим, и в первом, и во втором случае расчет производился по одной и той же логической формуле

но использовались разные формулы для расчета, поскольку отличались исходные данные.

Если произведения вариант на соответствующие им частоты равны между собой, т.д. F1 = F2 = F3 = ... = Fn, то можно применять среднюю гармоническую простую, рассчитываемую по следующей формуле:

где п - число единиц в совокупности.

Пример 6.6. Предприятием были выделены одинаковые денежные суммы на приобретение акций двух видов, при этом цена акции вида "А" составляла 1000 руб., "В" - 1800 руб. Рассчитаем среднюю цену приобретения акций:

Поясним расчет. Мы знаем, что логическая формула для расчета средней цены приобретения одной акции такова:

Однако неизвестно, сколько было куплено акций каждого вида. Поэтому средняя арифметическая здесь не может быть использована.

Кроме того, мы знаем, что на покупку каждого вида акций была выделена одна и та же сумма. Обозначим ее через С. Тогда общая сумма, выделенная на покупку двух видов акций, будет равна 2С, а количество купленных акций каждого вида можно рассчитать следующим образом:

  • для вида "А": C/1 000;
  • для вида "В": С/1 800

Если подставить эти значения в логическую формулу, то неизвестная величина С (сумма, выделенная на приобретение каждого вида акций) сократится, и расчет действительно будет проведен по формуле средней гармонической простой:

6.3. Средняя геометрическая

Для расчета среднего коэффициента или темпа роста статистического показателя используется формула средней геометрической.

Для несгруппированных данных (при отсутствии частот) или для сгруппированных данных с равными частотами применяется средняя геометрическая простая

Для сгруппированных данных с неравными частотами применяется средняя геометрическая взвешенная

Примеры расчета средней геометрической будут рассмотрены в гл. 9.

6.4. Средняя квадратическая и другие степенные средние

Если подставить в формулу средней степенной m = 2, то получим среднюю квадратическую:

взвешенную (для сгруппированных данных):

простую (для несгруппированных данных):

Средняя квадратическая величина широко применяется при оценке вариации признака, при изучении взаимосвязи явлений. Кроме того, прикладное значение имеет расчет степенных средних и более высоких порядков, например при изучении характеристик распределения случайных величин. Формулы для их вычисления получаются при подстановке в качестве m соответствующего показателя степени.

Правило мажорантности степенных средних состоит в том, что при расчете по одним и тем же данным между числовыми значениями средних, исчисленных по разным формулам, всегда сохраняется следующее неравенство:

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Игорь Темиров
Игорь Темиров

Я так и не понял каков правильный ответ

Елена Игнатко
Елена Игнатко
Россия, Москва
Дарья Шелудкова
Дарья Шелудкова
Россия, Москва