Опубликован: 13.05.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 795 / 208 | Длительность: 13:46:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 6:

Средние величины в статистике

< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >

Начиная рассуждать о средних величинах, чаще всего вспоминают, как заканчивали школу и поступали в учебное заведение. Тогда по аттестату рассчитывался средний балл: все оценки (и хорошие, и не очень) складывали, полученную сумму делили на их количество. Так вычисляется самый простой вид средней, которая называется средняя арифметическая простая. На практике в статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, структурные средние. Тот или иной их вид используется в зависимости от характера данных и целей исследования.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные. Последние используются для характеристики структуры вариационного ряда и будут рассмотрены далее в гл. 8.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 - средней квадратической;

xi - варианты (значения, которые принимает признак);

fi - частоты.

Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, которая не должна содержать исходных данных, резко различающихся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).

Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере.

Пример 6.1. Вычислим среднюю заработную плату сотрудников малого предприятия.

Таблица 6.1. Заработная плата работников
№ п/п Заработная плата, руб. № п/п Заработная плата, руб.
1 5 950 11 7 000
2 6 790 12 5 950
3 6 790 13 6 790
4 5 950 14 5 950
5 7 000 5 6 790
6 6 790 16 7 000
7 5 950 17 6 790
8 7 000 18 7 000
9 6 790 19 7 000
10 6 790 20 5 950

Для расчета среднего размера заработной платы необходимо просуммировать заработную плату, начисленную всем работникам предприятия (т.е. найти фонд заработной платы), и разделить на число работающих:

А теперь добавим в нашу совокупность всего лишь одного человека (директора этого предприятия), но с окладом в 50 000 руб. В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:

Как видим, она превышает 7000 руб., т.д. она больше всех значений признака за исключением одного-единственного наблюдения.

Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в примере 6.1 она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а групповые средние значения.

6.1. Средняя арифметическая и ее свойства

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

При расчете средней заработной платы по данным таблицы примера 6.1 мы сложили все значения признака и поделили на их количество. Ход наших вычислений запишем в виде формулы средней арифметической простой

где хi - варианты (отдельные значения признака);

п - число единиц в совокупности.

Пример 6.2. Теперь сгруппируем наши данные из таблицы примера 6.1, т.д. построим дискретный вариационный ряд распределения работающих по уровню заработной платы. Результаты группировки представлены в таблице.

Таблица 6.2. Распределение работников предприятия по уровню заработной платы
Заработная плата, руб. Численность работников
5 950 6
6 790 8
7 000 6
Итого 20

Запишем выражение для вычисления среднего уровня заработной платы в более компактной форме:

В примере 6.2 была применена формула средней арифметической взвешенной

где fi - частоты, показывающие, сколько раз встречается значение признака хi y единиц совокупности.

Расчет средней арифметической взвешенной удобно проводить в таблице, как это показано ниже (табл. 6.3):

Таблица 6.3. Расчет средней арифметической в дискретном ряду
Исходные данные Расчетный показатель
заработная плата, руб. численность работающих, чел. фонд заработной платы, руб.
xi fi xifi
5 950 6 35 760
6 790 8 54 320
7 000 6 42 000
Итого 20 132 080

Следует отметить, что средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы или сгруппированы, но все частоты равны между собой.

Часто результаты наблюдения представляют в виде интервального ряда распределения (см. таблицу в примере 6.4). Тогда при расчете средней в качестве xi берут середины интервалов. Если первый и последний интервалы открыты (не имеют одной из границ), то их условно "закрывают", принимая за величины данного интервала величину примыкающего интервала, т.д. первый закрывают исходя из величины второго, а последний - по величине предпоследнего.

Пример 6.3. По результатам выборочного обследования одной из групп населения рассчитаем размер среднедушевого денежного дохода.

В приведенной таблице середина первого интервала равна 500. Действительно, величина второго интервала - 1000 (2000-1000); тогда нижняя граница первого равна 0 (1000-1000), а его середина - 500. Аналогично поступаем с последним интервалом. За его середину принимаем 25 000: величина предпоследнего интервала 10 000 (20 000-10 000), тогда его верхняя граница - 30 000 (20 000 + 10 000), а середина, соответственно, - 25 000.

Таблица 6.4. Расчет средней арифметической в интервальном ряду
Среднедушевой денежный доход, руб. в месяц Численность населения к итогу, % fi Середины интервалов xi xifi
До 1 000 4,1 500 2 050
1 000-2 000 8,6 1 500 12 900
2 000-4 000 12,9 3 000 38 700
4 000-6 000 13,0 5 000 65 000
6 000-8 000 10,5 7 000 73 500
8 000-10 000 27,8 9 000 250 200
10 000-20 000 12,7 15 000 190 500
20 000 и выше 10,4 25 000 260 000
Итого 100,0 - 892 850

Тогда среднедушевой размер месячного дохода составит

Средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств. Приведем основные из них:

  1. если хi = с, где с - постоянная величина, то средняя арифметическая будет равна с;
  2. сумма отклонений значений признака от его средней арифметической равна 0, т.е.

  3. если из всех значений признака вычесть постоянную величину с, то средняя арифметическая уменьшится на эту величину с:

  4. от уменьшения или увеличения частот fi каждого значения признака в m раз величина средней арифметической не изменится:

  5. если все индивидуальные значения признака уменьшить или увеличить в d раз, то величина средней арифметической также уменьшится или увеличится в d раз:

На изложенных свойствах средней арифметической базируется один из методов ее расчета - способ моментов, или метод отсчета от условного нуля, который используется в случае вариационных рядов с равными интервалами. Согласно этому методу среднюю арифметическую взвешенную можно вычислить по следующей формуле: x = mi * d + c

где - момент первого порядка

За d, как правило, принимают величину интервалов, а за с - значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов нечетное), или середину интервала с наибольшей частотой также из центра ряда (при четном количестве интервалов в центре ряда будут находиться два интервала).

Пример 6.4. Рассчитаем среднюю прибыль по группе банков способом моментов.

Расчет средней арифметической способом моментов

Рис. 6.13. Расчет средней арифметической способом моментов
< Лекция 5 || Лекция 6: 12 || Лекция 7 >
Игорь Темиров
Игорь Темиров

Я так и не понял каков правильный ответ

Елена Игнатко
Елена Игнатко
Россия, Москва
Дарья Шелудкова
Дарья Шелудкова
Россия, Москва