Опубликован: 20.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 545 / 168 | Длительность: 07:27:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 9:

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Основные теоретические сведения

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q=1-p(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. Кроме того, пусть P_n(k_1;k_2)вероятность того, что число появлений события А находится между k_1 и k_2.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P_n(k)=\frac 1 {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \varphi \left( \frac {k-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right),\varphi(x)=\frac 1 {\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot e^{\frac {-x^2} 2},x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} ( 1.22)

функция Гаусса

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n;k_1,k_2)P_n(k_1;k_2)=\Phi \cdot \left(\frac {k_2-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right) -\Phi \cdot \left(\frac {k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right), \Phi(x)=\frac 1 {\sqrt {2 \cdot \pi}} \cdot \int \limits^x_{-\infty} e ^{\frac {-t^2} 2} \cdot d \cdot t ( 1.23)

функция Лапласа.

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

  1. \varphi (-x)=\varphi (x), \hat {O} (-x)=-\hat {O} (x)
  2. при больших x верно
    \varphi (x) \approx 0, \hat {O} (x) \approx 0,5

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при n \cdot p \cdot q \geq 9. Причем чем ближе значения p*q к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример решения задачи

Задача: Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Дано:

n=400

p=0,75

q=0,25

k=280

Решение:

1. Находим

x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt {n \cdot p \cdot q}}=\frac {280-300} {\sqrt {75}} = -2,31

2. По таблице значений локальной функции (смотреть Приложение 1) найдем:

\phi (-2,31)= \phi (2,31) = 0,0277

Это значение было получено пересечением строки со значением 2,3 и столбца со значением 1.

3. Вычисляем вероятность:

P_{400}(280)=\frac 1 {\sqrt {n \cdot p \cdot q}} \cdot \phi (t)=\frac {0,0277} {\sqrt {75}} \approx 0,0032

Ответ:

P_{400} (280)=0,0032

P_{400}=?
Кирилл Тишин
Кирилл Тишин
Геннадий Андреев
Геннадий Андреев
Россия