Опубликован: 20.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 545 / 168 | Длительность: 07:27:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 2:

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

< Лекция 1 || Лекция 2 || Лекция 3 >

Основные теоретические сведения

Биноминальные коэффициенты очень красиво располагаются треугольником, в котором каждое число (кроме первого) является суммой двух предшествующих. Этот треугольник называется треугольник Паскаля.

Таблица 1. Треугольник Паскаля для нахождения биноминального коэффициента
Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 C_0^0
1 C_1^0 C_1^1
2 C_2^0 C_2^1 C_2^2
3 C_3^0 C_3^1 C_3^2 C_3^3
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n C_n^0 C_n^1 ... ... ... ... ... C_n^{n-1} C_n^n

Эта таблица больше известна в виде значений:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3
1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n C_n^0 C_n^1 C_n^0 C_n^{n-1}

(n-я строка состоит из чисел C_n^0,C_n^1,...,C_n^n).

Биномом Ньютона называют разложение вида:

(a+b)^n=a^n+C^1_n a^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+C^3_n a^{n-3}b^3+C^{n-1}_n ab^{n-1}+b ( 1.7)

где C_n^1,...,C_n^{n-1} – биноминальные коэффициенты.

Пример решения задачи

Задача: Разложить по формуле бином (x+y)^6 .

Решение: Используя треугольник Паскаля, находим биноминальные коэффициенты:

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1

Используя полученные биноминальные коэффициенты, получаем разложение данного выражения:

(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6
< Лекция 1 || Лекция 2 || Лекция 3 >
Александр Каманин
Александр Каманин
Россия, Новосибирск, НГТУ НЭТИ