Опубликован: 20.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 545 / 168 | Длительность: 07:27:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 1:

Элементы комбинаторики

Лекция 1 || Лекция 2 >

Основные теоретические сведения

Упорядоченные множества (кортежи), состоящие из n различных элементов, называются перестановками (без повторений).

P_n=n!, ( 1.1)

где P_n – число перестановок, nдлина.

Упорядоченное подмножество m элементов (кортеж), составленное из всего множества, содержащего n элементов, называется размещением (без повторения).

A^m_n=\frac {n!} {(n-m)!}, ( 1.2)

где A^m_n – число размещений, n – общее количество, m – число всех выборов из n данных.

Сочетаниями (без повторений) из n элементов по m называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из m элементов, 48 взятых из множества, состоящего из n элементов.

C^m_n=\frac {n!} {m!\cdot (n-m)!} ( 1.3)

где C^m_n – число сочетаний, n – общее количество, m – число всех выборов из n данных.

Кортеж, имеющий повторяющиеся элементы, называется перестановкой с повторениями.

\hat{P}_{n_1,n_2,...,n_n}=\frac {n!} {n_1!...n_m!} ( 1.4)

где \hat{P}_{n_1,n_2,...,n_n} – число перестановок с повторениями, n – общее количество, m – число всех выборов из n данных.

Такое часто встречающееся число подсчетов вариантов называют размещением с повторением.

\hat{A}_n^m=n^m ( 1.5)

где \hat{A}_n^m – число размещений с повторением, n – общее количество, m – число всех выборов из n данных.

Сочетаниями с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.

\hat{С}_n^m= \frac {n! \cdot (n+m-1)!} {m! \cdot (n-1)!} ( 1.6)

где \hat{С}_n^m – число сочетаний с повторением, n – общее количество, m – число всех выборов из n данных.

Пример решения задачи

Задача: Сколькими способами из цифр 3, 5, 7, 9 можно составить различные четырехзначные числа?

Дано:

n=4

Решение:

1. Найдем число перестановок:

P_n=n!
P_4=4!=4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1=24
Ответ: P4=24
P4
Лекция 1 || Лекция 2 >
Кирилл Тишин
Кирилл Тишин
Геннадий Андреев
Геннадий Андреев
Россия