Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 327 / 7 | Длительность: 08:16:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 5:

Обслуживание полнодоступной группы потребителей от группы с ограниченным числом партий товаров (формула Энгсета)

5.1. Постановка задачи

Определим три основных элемента математической модели (рис. 5.1):

Модель рынка для примитивного потока

Рис. 5.1. Модель рынка для примитивного потока

Дано:

  1. Основная система - рынок, который обслуживает \nu групп потребителей, к которым равнодоступны поступающие партии товаров.

  2. На рынок поступает случайный примитивный поток n партий товаров с параметром \lambda _i. При этом вероятность поступления новых партий числа в рассматриваемый момент времени будет зависеть от числа обслуженных (проданных) партий товаров.

    Напомним ( "Математическая модель рынка" , раздел 1.2.1), что примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого \lambda _i прямо пропорционален числу неприобретённых в данный момент партий товаров:

    \lambda _i=(n-i)\alpha

    где n - общее число партий товаров;

    i - число проданных партий товаров;

    \alpha - параметр потока группы партий в свободном состоянии -когда не продано ни одной группы товаров (при этом имеет место естественное предположение, что проданная партия товаров не может быть снова предложена для продажи).

    Примитивный поток характерен, для рынка с малым числом производителей (небольшой величиной предложения), когда каждая покупка (потребление) снижает величины предложения.

    Как и прежде, будем предполагать, что длительность потребления, подчиняется показательному закону распределения с параметром \beta:

    F_2(t) =P(t_{обсл} < t) =1-e^{-\beta \cdot t}

  3. В качестве дисциплины обслуживания примем обслуживание с

    явными потерями.

    Требуется найти вероятность приобретения i любых товаров из общего числа \nu в фиксированный момент времени.

5.2. Вывод формулы Энгсета

Вспомним процесс рождения и гибели - частный случай Марковского процесса.

Диаграмма процесс гибили и размножения

Рис. 5.2. Диаграмма процесс гибили и размножения
P_i=\frac{\lambda _1 \cdot \lambda _2 \cdot \lambda _3 \cdot … \lambda _{i-1}}{\nu _1 \cdot \nu _2 \cdot \nu _3 \cdot … \nu _i}\cdot P_0 \sum\nolimits_{j=0}^{\infty }P_i=1

Рассмотрим систему в стационарном режиме. Определим \lambda _i и \nu _i для рассматриваемой модели.

Обозначим через \alpha вероятность поступления хотя бы одной партии товара от оставшейся группы товаров на отрезке \Delta t при \Delta t \to 0 (параметр группы производителей). В состоянии системы xi из n групп товаров осталось n -i групп. Следовательно, вероятность поступления партии товара в состоянии системы x_i за \Delta t:

\Delta \cdot \lambda _i=(n-i)\cdot \alpha, то есть \lambda _i=(n - i)\cdot \alpha;

где \alpha - параметр группы оставшихся производителей.

Вероятность освобождения одной группы за отрезок \Delta t равна:

\Delta t \cdot \nu 1=\beta \cdot \Delta t

В состоянии x_i занято i групп потребителей. Вероятность освобождения одной группы потребителей (или первой, или второй, …, или i -той) равна:

\Delta t \cdot \nu _i=i\cdot \beta \cdot \Delta t, то есть \nu _i=i\cdot \beta.

Для такой модели вероятность перехода в следующее состояние зависит

от предыдущего состояния, но не зависит от того, как система оказалась в этом предыдущем состоянии, то есть процесс Марковский.

Подставив в выражение для P_i вместо \lambda _i и \nu _i их значения \alpha и \beta, получим:

P_i=\frac{\lambda _1 \cdot \lambda _2 \cdot \lambda _3 \cdot … \lambda _{i-1}}{\nu _1 \cdot \nu _2 \cdot \nu _3 \cdot … \nu _i}\cdot P_0=\frac{N\cdot \alpha \cdot (N-1)\cdot \alpha \cdot … \cdot [N-(i-1)]}{\beta \cdot 2\beta \cdot 3\beta \cdot … \cdot i\cdot \beta}\cdot P_0=…=\frac{N\cdot \alpha \cdot (N-1)\cdot \alpha \cdot … \cdot [N-(i-1)]}{i!}\cdot \frac{\alpha ^i}{\beta ^i}\cdot P_0=C_N^i \cdot (\frac{\alpha}{\beta})^i \cdot P_0,

где C_N^i=\frac{N!}{(N-1)!i!}

P_0 определим из условия \sum\nolimits_{j=0}^{\nu} P_i=1

В теории массового обслуживания часто пользуются следующим приёмом: для простоты записи выражений длительность занятия одной группы потребителей выражают в единицах средней длительности потребления, то есть принимают \frac{1}{\beta}=1.

Это изменяет масштаб, но результаты от этого не изменяются.

С учётом сказанного: P_i=C_N^i\alpha ^i P_0

\sum_{j=0}^{\nu }P_i=1 \to P_0=\frac{1}{\sum\nolimits_{j=0}^{\nu }C_N^I \alpha ^i }

P_i=\frac{c_n^i \alpha ^i}{\sum_{i=0}^{\nu }C_N^i \alpha ^i} - распределение Энгсета (немецкий учёный, 1918г.).

Огибающая распределения Энгсета похожа на огибающую распределения Эрланга.

Екатерина Дедкова
Екатерина Дедкова
Россия, Барнаул, РАНХиГС, 2017