Компания ALT Linux
Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 550 / 136 | Длительность: 19:00:00
Лекция 3:

Задачи высшей математики с Maxima

3.3 Классификация и основные свойства функций

Функция называется явной (или заданной в явном виде), если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция y = x^3 + 7x + 5.

Функция y аргумента x называется неявной (или заданной в неявном виде), если она задана уравнением F(x,y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y\,(y\ge 0), заданная уравнением x^3 + y^2 - x = 0. Отметим, что последнее уравнение задает две функции, y=\sqrt{x-x^3} при y\ge 0, и y=-\sqrt{x-x^3} при

y<0
.

Обратная функция.

Пусть y = f(x) есть функция от независимой переменной x, определенной на промежутке X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y\in Y единственное значение x\in X, при котором f(x) = y. Тогда полученная функция x = g(y), определенная на промежутке Y с областью значений X называется обратной по отношению к функции y = f(x).

Например, для функции y = a^x обратной будет функция x=\log_ax.

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u=\phi(x) от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f[\phi(x)] называется сложной функцией.

Например, y=\sin (x^5) — сложная функция, так как ее можно представить в виде y=\sin (u), где u = x^5.

Понятие элементарной функции. Основными элементарными функциями являются:

  1. степенная функция y=x^r,\ r\in R;
  2. показательная функция y=a^x\ (a>0,a\ne 1)
  3. логарифмическая функция y=\log_ax\ (a>0, a\ne 1);
  4. тригонометрические функции y=\sin x,\ y=\cos x,\ y=\tg x,\ y=\ctg x;
  5. обратные тригонометрические функции
    y=\arcsin x,\ y=\arccos x,\ y=\arctg x,\ y=\arcctg x
    .

Из основных элементарных функций новые элементарные функции могут быть получены при помощи:

  1. алгебраических действий;
  2. операций образования сложных функций.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

y=\frac{\sqrt{x}+\arcsin x^5}{\ln^3x+x^3+x^7}
является элементарной.

Примером неэлементарной функции является функция y = signx.

3.3.1 Основные свойства функций

  • Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется общего вида.

    Например, функция y = x^2 является четной, а функция y = x^3 — нечетной. Функция y = x^2 + x^3 является функцией общего вида.

    График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

  • Монотонность. Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых x_1, x_2 (x_1,x_2 \in X) и x_2>x_1 выполняется неравенство f(x_2)>f(x_1)\ (f(x_2)<f(x_1)). А если выполняется неравенство f(x_2)\ge f(x_1)\ (f(x_2) \le f(x_1)), то функция называется неубывающей (невозрастающей).
  • Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число M>0, что |f(x)|\le M для любого x\in X.

    Например, функция y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как |\sin x|\le 1 для любого x\in \mathbb{R}.

  • Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом T\ne 0 на промежутке X, для любого x\in X выполняется равенство f(x + T) = f(x).

3.3.2 Предел функции и его свойства

3.3.2.1 Предел функции в бесконечности

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа \epsilon>0, найдется такое положительное число \delta>0, что для всех x удовлетворяющих условию |x|>\deltaвыполняется неравенство |f(x)-A|<\epsilon.

Этот предел функции обозначается следующим образом:

\lim_{x\to \infty}f(x)=A
или f(x)\to A при x\to\infty.

3.3.2.2 Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a.

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к a (или в точке a), если для любого сколь угодно малого положительного числа \epsilon>0, найдется такое положительное число \delta>0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<\delta выполняется неравенство |f(x)-A|<\epsilon. Условие 0<|x-a| означает, что x\ne a.

Предел функции обозначается следующим образом:

\lim_{x\to a}f(x)=A
или f(x)\to A при x\to a.

3.3.2.3 Односторонние пределы.

Если x>a и x\to a, то употребляют запись x\to a+0. Если x<a и x\to a, то употребляют запись x\to a-0.

Выражения \displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)} и \displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)} называются соответственно пределами функции f(x) в точке a справа и слева.

Если существует предел \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)}, то существуют и односторонние пределы \displaystyle{\lim_{x\to a+0}f(x)} и \displaystyle{\lim_{x\to a-0}f(x)} и

\lim_{x\to a-0} f(x)=\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x).
Это равенство выполняется также, если пределы слева и справа равны1Можно доказать, что если существуют и равны между собой односторонние пределы, то существует и предел функции, равный односторонним пределам..

3.3.2.4 Теоремы о пределах
  1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если те существуют, то есть
    \lim_{x\to x_0}[f(x)+\psi(x)]=A+B,
    где A=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)},\ B=\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\psi(x)}.
  2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.
    \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot\psi(x)]=A\cdot B.
  3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.
    \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{\psi(x)}=\frac{A}{B},
    причем B\ne 0.
  4. Если,
    \lim_{u\to u_0}f(u)=A;
    \lim_{x\to x_0}\psi(x)=u_0,
    то предел сложной функции
    \lim_{x\to x_0}f[\psi(x)]=A.
    .
3.3.2.5 Вычисление пределов различных классов функций

Предел выражения f(x) при x\to a вычисляется с помощью функции limit(f(x),x,a);

Рассмотрим пример: вычислить предел \underset{x \rightarrow 0}{\text{lim}} \frac{\mathrm{sin}\,x}{x}.

Решение: выполним команду

(%i1)	limit(sin(x)/x, x, 0);

Результат на экране:

1\leqno{(\%o1)}

Более сложные варианты вычисления пределов иллюстрирует следующие несколько примеров, включающие пределы слева, справа, при стремлении к бесконечности и т.п. Рассмотрим пределы: \underset{x \rightarrow + \infty}{\text{lim}} e^x,\ 
\underset{x \rightarrow - \infty}{\text{lim}} e^x,\ 
\underset{x \rightarrow 0 - 0}{\text{lim}} \frac{1}{x},\
\underset{x \rightarrow 0 + 0}{\text{lim}} \frac{1}{x}.

Предел неограниченной функции на бесконечности:

(%i2)	limit (exp(x), x, inf);
\infty \leqno{(\%o2) }
(%i3)	limit (exp(x), x, minf);
0\leqno{(\%o3) }

Пределы при x _ 0 слева и справа:

(%i3)	limit(1/x, x, 0, minus);
-\infty \leqno{(\%o3) }
(%i4)	limit(1/x, x, 0, plus);
\infty \leqno{(\%o4) }
3.3.2.6 Предел и непрерывность функции

Вычислить пределы\underset{x \rightarrow 8}{\text{lim}} \sqrt[3]{x} и \underset{x \rightarrow - 8}{\text{lim}} \sqrt[3]{x}.

(%i8)	limit(x^(1/3), x, 8);
2\leqno{(\%o8) }
(%i9)	limit(x^(1/3), x, -8);
-2\leqno{(\%o9) }
3.3.2.7 Пределы рациональных дробей

Вычислить предел \underset{x \rightarrow - 1}{\text{lim}} \frac{x^3 - 3 x - 2}{(x^2 - x - 2)^2}.

(%i10)	y(x):=(x^3-3*x-2)/(x^2-x-2)^2; limit(y(x), x,-1);
y\left( x\right) :=\frac{{x}^{3}-3\,x-2}{{\left( {x}^{2}-x-2\right) }^{2}}\leqno{(\%o10) }
-\frac{1}{3}\leqno{(\%o11) }

При операциях с рациональными дробями и выделения носителей нуля2Под "носителями нуля" имеются ввиду выражения, обращающиеся в нуль в точке, в которой вычисляется предел.целесообразно использовать факторизацию выражений, например: вычисление предела непосредственно

(%i16)	limit((x^2-4)/(x^2-3*x+2), x, 2);
4\leqno{(\%o16) }$$

Вычисление предела после факторизации рационального выражения:

(%i17)	factor((x^2-4)/(x^2-3*x+2));

В числителе и знаменателе дроби сокращается носитель нуля при x\to 2, т.е. выражение x - 2.

\frac{x+2}{x-1}\leqno{(\%o17) }
(%i18)	limit(%,x,2);
4\leqno{(\%o18) }
3.3.2.8 Пределы, содержащие иррациональные выражения

Вычисление пределов данного класса во многом аналогично вычислению пределов рациональных дробей, т.к. сводится к сокращению носителей нуля в числителе и знаменателе анализируемых выражений, например: вычислить предел выражения \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} при x\to 1. При вычислении предела непосредственно имеем:

(%i1)	limit((sqrt(x)-1)/(x-1), x, 1);
\frac{1}{2}\leqno{(\%o1) }

Для упрощения и сокращения носителей нуля используется функция radcan:

(%i2)	factor((sqrt(x)-1)/(x-1));
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\leqno{(\%o2) }
(%i3)	radcan(%);
\frac{1}{\sqrt{x}+1}\leqno{(\%o3) }
(%i4)	limit(%, x, 1);
\frac{1}{2}\leqno{(\%o4) }
3.3.2.9 Пределы тригонометрических выражений

Первым замечательным пределом называется предел

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Рассмотрим примеры нахождения некоторых пределов с использованием первого замечательного предела.

Пример. Найти предел

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}}.

\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to 0}5\frac{\sin 5x}{5x}=
5\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=5,
где t = 5x.

Расчёт с использованием Maxima:

(%i1)	limit(sin(5*x)/x, x, 0);
5\leqno{(\%o1) }

Пример. Найти предел \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}} .

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}=
\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x^2}{x^2}=\lim_{t\to 0}\frac{2\sin t}{t}=2,
где t = x^2.

Расчёт с использованием Maxima:

(%i4)	limit((1-cos(2*x))/x^2, x, 0);
2\leqno{(\%o4) }
3.3.2.10 Пределы экспоненциальных выражений

Вторым замечательным пределом называется предел

\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e = 2.718281828\cdots

Можно показать, что функция

y(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x
при x\to +\inftyи при x\to -\infty также имеет предел, равный e.

e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.

Заменяя x на x = 1/t получим еще одну запись числа e

e=\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}.

Число e (число Эйлера или неперово число) играет важную роль в математическом анализе.

Функция y = e^x носит название экспоненты. Если показатель экспоненты громоздкий, то ее принято записывать в виде: \exp(x).

Логарифм по основанию e называется натуральным. Его обозначают символом \ln, т.е. \log_ex=\ln x.

Важную роль в математическом анализе играют также гиперболические функции (гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс), определяемые формулами:

\sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2};\\
\ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2};\\
\th(x)=\frac{\sh(x)}{\ch(x)}.

Рассмотрим примеры нахождения некоторых пределов с использованием второго замечательного предела.

Пример. Найти предел \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}.

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=
\lim_{x\to 0}\ln e=1.

Итак \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=1.

Пример. Найти предел \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}.

Пусть a^x - 1 = u. Тогда

a^x=1+u;\ x=\frac{\ln(1+u)}{\ln a}
.

\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{u\to 0}\frac{u\ln a}{\ln(1+u)}=
\ln a\cdot \lim_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}=\ln a\cdot 1=\ln a.

Итак \displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}}=\ln a.

Вычисление при помощи Maxima:

(%i5)	limit(log(1+x)/x, x, 0);
1\leqno{(\%o5) }
(%i6)	limit((a^x-1)/x, x, 0);
log\left( a\right) \leqno{(\%o6) }

Найдем предел \displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}. Аналитический расчёт даёт следующий результат:

\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}\right)^{3x}}=
\exp\left[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x}{2+x}-1\right)3x\right]=
e^{-6}.

Используя Maxima, получаем:

(%i7)	limit((x/(2+x))^(3*x), x, inf);
{e}^{-6}\leqno{(\%o7) }
3.3.2.11 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим предел частного от деления двух бесконечно малых \alpha(x) и \beta(x) при x \rightarrow a.

Предел отношения двух бесконечно малых величин A={\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}} может быть равен нулю, конечному числу или \infty.

  1. Если A конечно, то \alpha(x) и \beta(x) называют бесконечно малыми одного порядка и пишут \alpha(x)=O[\beta(x)] при x\to a.

    Если A = 1, то \alpha(x) и \beta(x) называют эквивалентными и пишут \alpha(x)\sim \beta(x) при x\to a.

  2. Если A = 0, то \alpha(x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем \beta(x) и пишут \alpha(x)=o[\beta(x)] при x\to a.

    Если существует действительное число r>0 такое, что

    {\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^r}}\ne 0
    то \alpha(x) называют бесконечно малой порядка r относительно \beta(x) при x\to a.

  3. Если A\to \infty при x\to a, то в этом случае \beta(x) называют бесконечно малой более высокого порядка, чем \alpha(x) и пишут \beta(x)=o[\alpha(x)].

    Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу, например, если взять \alpha=x и \beta=x\sin\frac{1}{x}, то их отношение, равное \sin\frac{1}{x}, при x\to 0 предела не имеет. В таком случае говорят, что две бесконечно малые не сравнимы между собой.

Пример вычислений с Maxima:

Рассмотрим две бесконечно малые функции при x\to 0

(%i26)	f(x):=sin(3*x)*sin(5*x)$ g(x):=(x-x^3)^2$

Вычислим предел отношения f(x)/g(x) при x\to 0

(%i28)	limit(f(x)/g(x), x, 0);
15\leqno{(\%o28) }

Результат, равный постоянному числу, свидетельствует о том, что рассматриваемые бесконечно малые одного порядка.

3.3.2.12 Эквивалентные бесконечно малые. Их применение к вычислению пределов.

При вычислении пределов полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин: \sin x \sim x; \tg x \sim x; \arcsin x\sim x; \arctg x\sim x; \ln(1+x)\sim, при x\to 0.

Их несложно получить, используя правило Лопиталя (см. ниже).

Пример: Сравнить бесконечно малые \alpha(x)=x^2\sin^2 x и \beta(x)=x\tg x при x\to 0.

Заменим \sin^2 x и \tg x на их эквивалентные бесконечно малые \sin^2 x\sim x^2 и \tg x\sim x. Получим

\lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin^2 x}{x\tg x}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot x^2}{x\cdot x}=
\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{x^2}=\lim_{x\to 0}x^2=0.
Таким образом, \alpha(t)=o[\beta(t)] при t\to 0. Кроме того, \alpha(x) является бесконечно малой порядка 2 относительно \beta(x).

Пример: Определить порядок малости \alpha(x)=\sin (\sqrt{x+1}-1) относительно \beta(x)=x при x\to 0.

Так как

\sqrt{x+1}-1=\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}+1)}
=\frac{x}{(\sqrt{x+1}+1)}
то
\lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=
\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{x}\sin \left(\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}\right)\right]
=\frac{1}{2}.

При вычислениях с использованием Maxima более естественно использовать при вычислении сложных пределов и сравнении бесконечно малых разложение числителя и знаменателя в ряд Тейлора (подробное обсуждение степенных рядов — см. ниже) При вычислении с использованием меню во вкладке меню Анализ \to Найти предел, установить пункт "Использовать ряд Тейлора". Для вычислений используется функция tlimit, работа которой основана на замене исследуемых функций рядом Тейлора (где это возможно). По умолчанию флаг замены установлен в false, поэтому для использования tlimit флаг замены устанавливается в true:

(%i1)	tlimswitch=true;
false=true\leqno{(\%o1) }

пример вычисления с использованием tlimit:

(%i1)	f(x):=(tan(x)-sin(x))/(x-sin(x));
f\left( x\right) :=\frac{tan\left( x\right) -sin\left( x\right) }{x-sin\left( x\right) }\leqno{(\%o1) }
(%i2)	tlimit(f(x),x,0);
3\leqno{(\%o2) }
3.3.2.13 Бесконечно большие функции. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x\to a, если для любого \epsilon>0 найдётся такое \delta>0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<\delta, будет выполнено неравенство |f(x)|>\epsilon.

Запись того, что функция f(x) бесконечно большая при x\to a означает следующее: \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\infty} или f(x)\to\infty при x\to a.

Пример: y = \tg x бесконечно большая при x\to \pi/2.

Замечание: Функция может быть неограниченной, но не бесконечно большой. Например, функция y=x\sin x — не ограничена на (-\infty,\infty), но не бесконечно большая при x\to \infty.

Если функция \alpha(x) есть бесконечно малая величина при x\to a (x\to \infty), то функция f(x)={\displaystyle\frac{1}{\alpha(x)}} является бесконечно большой при x\to a\ (x\to \infty).

И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при x\to a\ (x\to \infty), то функция \alpha(x)={\displaystyle\frac{1}{f(x)}} есть величина бесконечно малая при x\to a\  (x\to \infty).

Например, функция y = \cos x — бесконечно малая при x\to\pi/2, тогда функция {\displaystyle\frac{1}{\cos x}} — бесконечно большая. Функция y={\displaystyle\frac{1}{2x-7}} — бесконечно малая при x\to \infty, тогда функция y = 2x-7 — бесконечно большая при x\to \infty.