НОУ ИНТУИТ | Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам . Лекция 6: Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 351 / 28 | Длительность: 34:17:00

Темы: Искусственный интеллект и робототехника, Программное обеспечение, Нанотехнологии

Специальности: Разработчик аппаратуры

Теги: наноэлектроника, нейрокомпьютеры, нейроны, отказоустойчивость, нейрокибернетика

|

Вам нравится? Нравится 21 студенту

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

5.3. Структурно-функциональная избыточность многофункциональных логических модулей и формальных нейронов

Как уже отмечалось выше, МДМ является универсальным, если реализуемое им множество функций $\{\Psi_{\alpha}\}$ включает в себя в качестве подмножества некоторый полный класс функций типа (5.2), то есть $\{F_{\alpha}}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}$ .

В технике обычно стремятся к тому, чтобы МДМ был не избыточен по отношению к заданному классу функций:

$\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ и } \{F_{\alpha}\}\supset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ или } \{F_{\alpha}\} : \{F_{\alpha}\}\sim\{\Psi_{\alpha}\}.$

( 5.15)

В реальных нейронах и нейронных ансамблях функциональная избыточность значительна, то есть

$\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{, причем } |\{F_{\alpha}\}|<<|\{\Psi_{\alpha}\}|.$

( 5.16)

В формальных нейронах и, в частности, в МПЭ присутствует еще и структурная избыточность, которая обеспечивает настройку на одну и ту же ЛФ или ДФ с помощью множества варьируемых параметров модели. В частности, МПЭ можно настроить на одну и ту же $F_{\alpha}$ с помощью целой совокупности значений компонент весового вектора $\{w_i\}_{\alpha}$ и вектора порогов $\{h_j\}_{\alpha}.$

Если принять во внимание еще и физические процессы, которые лежат в основе работы УДМ или МДМ, то многообразие способов реализации одних и тех же функций становится необозримым. Но канонический характер преобразований (5.13) и (5.14) позволяет абстрагироваться от такого многообразия способов реализации, что следует из теоремы Кэли [103], которая гласит: любую конечную группу преобразований можно представить группой подстановок. Отсюда следует, что каким бы способом ни был реализован МДМ или УДМ, его работу или настройку всегда можно описать в виде (5.13) или (5.14).

Чтобы удовлетворить (5.15), необходимо иметь в виду, что перечислительный (адаптивный) процесс настройки МДМ или УДМ на требуемую функцию задан на упорядоченных определенным образом подклассах функции (5.2). В частности, можно убедиться [119], что с ростом хотя бы одного из перестраиваемых параметров ( $n, <q_{i}>, у, k$ ) преобразований (5.13) каждый последующий класс $\{F''\}$ включает в себя все предыдущие, если n' < n'' , q' < q'' , k' < k'' или если любая из переменных $x_{i}$ имеет значность $q'_{i} < q_{i}''$ , то $\{F_{\alpha}'\}\subset\{F_{\alpha}''\}$ .

Если под элементами множества $\{F\}$ понимать полные классы $\{F_{\alpha}\}$ , то с ростом хотя бы одного из параметров ( , $<q_{i}>$ , $\gamma$ , ) эти классы образуют алгебраическую структуру [103, 120] с отношением включения классов с меньшими значениями перестраиваемых параметров в классы с большими значениями соответствующих параметров.

Для таких структур в теории групп [103] доказываются следующие утверждения:

Всякая структура изоморфно вкладывается в структуру отношений эквивалентности, определенных в некотором множестве (теорема Уитмена).
Структура отношений эквивалентности, определенная в произвольно заданном множестве, изоморфно вкладывается в структуру подгрупп некоторой группы (теорема Биркхофа).

Поскольку задаваемое функцией (5.2) отношение "эквизначности" является отношением эквивалентности, процесс адаптации МДМ или УДМ требует как минимум перехода от одного отношения эквивалентности к другому.

Отсюда, в соответствии с теоремой Уитмена разнообразие способов получения структуры, описывающей специфику работы конкретных УДМ, представимо структурой отношений эквивалентности, а в соответствии с теоремой Биркхофа - соотношение (5.13) описывает не только работу, но и настройку любого УДМ на $F_{\alpha}\in\{F_{\alpha}\}$ .

Класс двузначных ЛФ лежит в основе современной микроэлектроники, и он вырожден по отношению к классу многозначных (дискретных) функций (5.2), так как при его перечислении варьируют только количеством переменных ( ) и спецификациями $\{r_{0}, r_{1}\}$ . С этим классом функций связана дистрибутивная структура, для которой справедлива теорема Стоуна [103]: для всякой дистрибутивной структуры существует мономорфизм, отображающий эту структуру во множество всех ее подмножеств и переводящий дополнение в дополнение. (Под мономорфизмом понимается однозначное отображение, при котором образы различных элементов различны.)

Теорема Стоуна показывает, что для построения двузначных УДМ необходимо получить (с помощью и $\Lambda$ ) множество всевозможных подмножеств входных векторов $\{X^{s}_n\}$ , а с помощью преобразования разместить значения ЛФ ("ноль" и "единица") соответственно над подмножеством $\{X^{s}_n\}_0$ и его дополнением $\{X^{s}_n\}_1:\{X^{s}_n\}\setminus\{X^{s}_n\}_0$ .

В сравнении с теоремой Шеннона [101] теорема Стоуна предоставляет более широкий выбор способов построения УДМ, так как она сформулирована в терминах теории множеств и не предполагает какой-либо фиксированной формы логической записи и реализации $F_{\alpha}$ , что наглядно иллюстрирует МПЭ [79, 80], где входные преобразования носят чисто арифметический, а не логический характер.

В технических системах функциональная избыточность УДМ "дозируется" соображениями экономичности, отказоустойчивости и надежности, когда требование минимума аппаратурных затрат на реализацию и управление УДМ необходимо совместить с требованием повышенной устойчивости к (частичным) отказам объекта и средств адаптации УДМ.

На абстрактном уровне структурно-функциональную избыточность УДМ можно оценить отношением мощности множества всевозможных состояний вектора управления U_s к мощности класса реализуемых функций:

$J (УДМ) = |\{U\}|/M_k \ge 1,$

( 5.17)

где $| \{U_s\} | = | \{ E_{s} \} | * | \{ E_{d} \} |*|\{ E_{k} \}|$ - оценивается при независимом управлении параметрами настройки входного преобразования $G - |\{E_{s}\}|$ , внутреннего преобразования $\Lambda - | \{ E_{k} \}|$ , и выходного преобразования $К - |\{Еk\}| =$ , а $M_{k} = |\{F_{\alpha}\}|$ .

Ограничение снизу в (5.17) показывает, что на любую функцию $F_{\alpha}\in \{F_{\alpha}\}$ можно настроиться хотя бы одним способом, то есть при неизбыточном управлении мощность множества состояний вектора управления U_s равна мощности множества реализуемых функций.

Ограничение "сверху" в (5.17) можно получить, считая: $|\{E _{s}\}| \le (Q+1)$ !; $|\{E_{k}\}| \le k$ !; $|\{E_{d} \}| \le |\{\lambda\}|$ - мощность множества всевозможных $\lambda$ -разбиений числа ( Q+1 ).

Тогда:

$J(УДМ) \le (Q+1)!*k!*|\{\lambda\}|/k^{Q+1}.$

( 5.18)

В табл. 5.3 приведены численные оценки (5.18), показывающие характер изменения структурно-функциональной избыточности УДМ в зависимости от параметров его настройки на $F_{\alpha}$ из заданного класса $\{F_{\alpha}\}$ . Из табл. 5.3 видно, что с ростом (при фиксированных - рис. 5.5) структурно-функциональная избыточность УДМ резко возрастает, а с ростом (при фиксированных - рис. 5.6) - падает.

Таблица 5.3. Оценка избыточности реализации ЛФ в УДМ


	9	90	1575	7087
$\|\{\lambda\}\|$	3	4	5	5
$\|\{u_s\}\|$	144	5760	403200	3628800
	16	64	256	522


	7	41	368	1322
$\|\{\lambda\}\|$	4	7	10	12
$\|\{u_s\}\|$	576	30240	2419200	26127360
	81	249	6561	19683


	11	38	221	533
$\|\{\lambda\}\|$	5	9	15	17
$\|\{u_s\}\|$	2880	155520	14515200	140797660
	256	4096	65536	262144

Отсюда следует практическая рекомендация по нахождению минимально избыточных в смысле (5.17) и (5.18) УДМ: необходимо максимально упрощать входное преобразование и максимально использовать возможности выходного преобразования канонической тройки (5.13), особенно при реализации ЛФ, где $k \ll Q$ .

Таким условиям удовлетворяет УДМ, в котором и $\Lambda$ фиксированы, а все адаптивные возможности сосредоточены в выходном контуре:

$G*\Lambda* A_{Q+1}^{\gamma},$

( 5.19)

где оператор $\Lambda$ разбивает все множество $\{X^{s}_{n}\}$ на ( Q+1 ) одноэлементных подмножеств, а выходное преобразование $A^{\gamma}_{Q+1}$ размещает с повторениями $\gamma$ значений $F_{\аlpha}$ над ( Q+1 ) одноэлементными подмножествами.

Рис. 5.5. Диаграмма изменения избыточности УДМ как функция Q+1

Рис. 5.6. Диаграмма изменения избыточности как функция k

Требованиям (5.19) отвечает УДМ, который включает (рис. 5.7):

неперестраиваемый дешифратор (DC), реализующий оператор ,
селектор-мультиплексор (MS), реализующий фиксированное $\lambda$ -разбиение ( $|\Lambda|=1$ ),
( )-разрядный регистр (RG), выполняющий подстановку $\gamma$ значений $F_{\alpha}$ над ( ) элементом $(f_{s}\to b_j)$ .

Настройка УДМ рис. 5.7 на $F_{\аlpha}$ выполняется загрузкой в регистр RG управляющего вектора $U_{Q}$ , представляющего собой -значный код числа $\аlpha$ .

Рис. 5.7. Структурно-логическая схема базового УДМ

Взаимно однозначное отображение $\alpha\leftrightarrow U_{Q}$ зависит от правил объединения на входах селектора MS -выходов дешифратора DC и $u_{s}$ -выходов регистра настройки RG. Например, тривиальная $\alpha$ -нумерация двумерных двузначных ЛФ задается таблицей 5.4, и она всегда будет подразумеваться в дальнейшем, если не оговорено иное.

Таблица 5.4. Тривиальная alpha-нумерация двумерных двузначных ЛФ
			$F_{ 1}$	$F_{ 2}$	$F_{ 3}$	$F_{ 4}$	$F_{ 5}$	$F_{ 6}$	$F_{ 7}$	$F_{ 8}$	$F_{ 9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	2	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	3	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
			0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
			0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
			0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
			1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

В оптоэлектронике оператор линейной свертки можно реализовать не на схемотехническом, а на физико-техническом уровне работы ней-роподобной элементной базы, что резко снижает аппаратные затраты на МПЭ по сравнению с дискретными схемами. В оптоэлектронном МПЭ рис. 5.8 [122] использована схема (5.19), где:

Рис. 5.8. Структурная схема оптоэлектронного УДМ

дешифратор DC выполнен в виде волоконно-оптической системы 1, которая отклоняет луч 2 инжекционного лазера по закону
$\varphi_s=\sum_i{\Delta\varphi_i x_i},$

где $x_{i}$ -двоичные переменные, связанные с наличием ("логическая единица") или отсутствием ("логический ноль") электрического тока в металлизированных волокнах - входах оптоэлектронного УДМ; $\Delta\varphi_i$ - "локальный" угол отклонения луча от горизонтальной оси, причем если $\Delta\varphi_i = const$ (по ), то УДМ является мажоритарным, а если $\Delta\varphi_i = vary$ (по ), то УДМ является многопороговым;
селектор MS реализован в виде оптоэлектронного транспаранта 3;
"плоский" регистр RG реализован в виде памяти связей, которая формирует выходное значение $(f_{s})$ оптоэлектронного УДМ в соответствии со значением управляющего потенциала $u_{s}$ того элемента транспаранта, на который падает в данный момент луч лазера.

В теории многофункциональных логических модулей [101] все рассмотренные УДМ считаются выполненными по схеме с раздельными информационными ( $x_{i}$ ) и управляющими ( u_s ) входами. На практике применяются и схемы со смешанными информационными и управляющими входами, адаптация которых выполняется с помощью преобразований:

$\Gamma_1$ - перестановка переменных $x_{i}$ по входам $y_{j}$ МДМ ( $i =\overline{1,n}$ ; $j =\overline{1,m}$ ; $m \ge n$ );
$\Gamma_{2}$ - инверсия переменных $x_{i}$ ;
$\Gamma_{3}$ - фиксация значений отдельных входов ( $y_{j} = 0$ или $y_{j} = 1$ );
$\Gamma_{4}$ - отождествление отдельных входов, то есть подача одной и той же переменной $x_{i}$ на произвольное подмножество входов $\{y_{j}\}$ .

Вне зависимости от значности входных переменных их перестановки по ( ) и инверсии образуют группу переименований переменных [86, 123] порядка $| \Gamma_{1}*\Gamma_{2}| = 2^{m}*m$ !, которая является подгруппой , имеющей порядок (Q'+1) !, где определена на множестве $\{Y^{s}_m\}$ .

Фиксация и отождествление переменных не выводят за класс функций $\{F_{\alpha}(Y_{m})\}$ , к которому принадлежит реализуемая МДМ первообразная [101] функция $F_{\alpha}*(Y_m)$ , такая, что $F_{\alpha}^{*}[\Gamma(Y_m)] = \{F_{\alpha}(X^{s}_n)\}$ , где $\Gamma = \Gamma_{1}*\Gamma_2 *\Gamma_3 *\Gamma_{4}$ . Поэтому, выбрав в (5.2) параметры класса функций $\{F_{\alpha}(Y_{m} )\}$ , можно с помощью канонической системы преобразований описать работу и адаптацию МДМ со смешанными информационными и управляющими входами.

Таким образом, на основе преобразований, сохраняющих отношение эквизначности, удалось:

Построить каноническую систему преобразований универсальных дискретных модулей, которая пригодна как для описания собственно вычислительного процесса, так и для перечисления всех арифметико-логических инструкций, используемых в программе.
Оценить структурно-функциональную избыточность канонической системы преобразований УДМ и построить его минимально избыточную схему.
Показать инвариантность канонической системы преобразований способам адаптации наиболее распространенных в технике УДМ с раздельными и смешанными информационными и управляющими входами.
Расширить сферу поиска физических процессов под перспективные вычислительные элементы и схемы, так как каноническая система преобразований оперирует не понятиями булевой алгебры, а понятиями теории групп, длительное время обслуживающей нужды физиков и химиков.

Дальше >>

			$F_{ 1}$	$F_{ 2}$	$F_{ 3}$	$F_{ 4}$	$F_{ 5}$	$F_{ 6}$	$F_{ 7}$	$F_{ 8}$	$F_{ 9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	2	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	3	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
			0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
			0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
			0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
			1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

			$F_{ 1}$	$F_{ 2}$	$F_{ 3}$	$F_{ 4}$	$F_{ 5}$	$F_{ 6}$	$F_{ 7}$	$F_{ 8}$	$F_{ 9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	2	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	3	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
			0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
			0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
			0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
			1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Авторизоваться

Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам

Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

5.3. Структурно-функциональная избыточность многофункциональных логических модулей и формальных нейронов

Вопросы и ответы

			$F_{ 1}$	$F_{ 2}$	$F_{ 3}$	$F_{ 4}$	$F_{ 5}$	$F_{ 6}$	$F_{ 7}$	$F_{ 8}$	$F_{ 9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	2	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	3	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
			0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
			0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
			0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
			1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1