Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 323 / 14 | Длительность: 34:17:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 4:

Теория вычислений и машины Тьюринга

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

Теперь понятие алгоритма можно отождествить с машиной Тьюринга, работа которой удовлетворяет требованиям 1-8.

Согласно требованию 7 длина слов конечна, но неограниченна, а для этого требуется разделенная на отдельные ячейки счетная лента неограниченной длины, на которую можно записать как входные, так и выходные слова. Удовлетворить данное требование можно с помощью ограниченной справа, но неограниченной слева разделенной на ячейки ленты. При этом будем считать, что в одну ячейку можно записать не более одного символа, что не принципиально и создает только однозначность восприятия и исполнения предписания алгоритма (требование 4).

Согласно требованию 1 записи должны иметься только в конечном числе ячеек, то есть в подавляющем числе ячеек содержится символ "пусто" ( a_{0} ).

Согласно требованию 3 выполнение алгоритма носит последовательный, поэтапный характер и, если оно не обрывается, всегда ведет от одного состояния к другому. Предписание для алгоритма содержит как общие правила, определяющие сами действия над символами, способы выделения результата вычислений и т. д., так и указания, регламентирующие правила перехода от одного состояния к другому, следующему непосредственно за ним. Согласно требованиям 4 и 5 такой переход должен быть определен однозначно. При этом каждое указание требует от вычислителя определенного образа действий типа "изменить содержимое отдельной ячейки ленты", "найти другую ячейку ленты", "прекратить вычисления" и т. п. Действие "найти другую ячейку ленты" можно ограничить действием "найти соседнюю ячейку ленты", то есть машина Тьюринга может работать без перескоков и после выполнения предписания всегда смещаться на соседнюю ячейку, если не выработано условие останова вычислений.

Ячейку, с которой оперирует вычислитель, обычно называют текущей рабочей ячейкой, и предписание можно составить таким образом, чтобы изменение записи всегда происходило только в рабочей ячейке.

Отсюда, в любом состоянии предписание может состоять в следующем: "изменить содержимое рабочей ячейки", "сдвинуть рабочую ячейку вправо, а если возможно, то и влево", "остановиться".

Согласно требованиям 4-6 порядок этих действий должен быть однозначным и полностью ясным, а если процесс вычислений не остановлен, указание должно точно и однозначно предписывать, к какому непосредственно следующему указанию следует перейти после выполнения предыдущего.

Согласно требованию 6 для оценки текущего состояния, которое предваряет выполнение некоторого указания, можно привлечь только текущую запись на тенте, текущую рабочую ячейку и историю проведения вычислений.

Согласно требованию 8 у вычислителя может быть только ограниченная память. Поэтому в оценке его состояния может принять участие только ограниченная (содержательная) часть записей на ленте. Но просмотр записи из не более \xi ячеек можно осуществить в виде \epsilon -кратного просмотра содержимого только одной ячейки и за один раз. Поэтому для оценки текущего состояния вычислителя достаточно содержимого единственной ячейки, которую можно считать текущей информационной ячейкой. В свою очередь, рабочую и информационные ячейки можно совместить в одной, так как предписание всегда можно составить таким образом, чтобы сначала рабочая ячейка сменялась информационной, а затем на основе анализа содержимого последней разыскивалась исходная рабочая ячейка и определялся требуемый порядок действий (в современной терминологии "косвенная адресация").

Таким образом, для получения исполняемого указания оценку состояния вычислителя можно осуществить, используя только рабочую ячейку, ее содержимое и (пред)историю хода вычислительного процесса, от которой также можно избавиться, изменив предписание.

Для наглядности введенных соглашений рассмотрим пример. Пусть рабочий алфавит содержит два символа: * и |, предписание \breve{D} содержит \rho \ge 3 указаний вида:

  1. Если рабочая ячейка содержит символ *, остановись. Если рабочая ячейка содержит |, замени его символом * и далее действуй согласно второму указанию.
  2. Если рабочая ячейка содержит символ *, замени его символом | в том случае, когда предыдущее действие выполнялось согласно первому указанию, и действуй далее согласно третьему указанию; в противном случае остановись. Если рабочая ячейка содержит символ |, остановись.

Выделенную курсивом ссылку на предыдущее указание можно устранить следующим образом:

  1. Если рабочая ячейка содержит символ *, замени его символом | и действуй согласно третьему указанию.
  2. Если рабочая ячейка содержит символ |, остановись.

Введем \xi+1 состояние. (Здесь \xi+1 вновь не арифметическое действие, а следующий за \xi символ). Тогда:

  1. Если рабочая ячейка содержит символ *, остановись. Если рабочая ячейка содержит |, замени его символом * и далее действуй согласно \xi+1 указанию.
  2. Если рабочая ячейка содержит символ *, остановись. Если рабочая ячейка содержит символ |, остановись. Модифицированное предписание по своему действию совпадает с исходным, но не содержит ссылок на (пред)историю.

В результате отпадает необходимость в явном виде выражать влияние прошлого в вычислительного процесса на его будущее. Для этого достаточно воспользоваться указанием на положение исполняемого в данный момент предписания во всем списке предписаний, реализуемых данным вычислителем.

Таким образом, имеются достаточные основания утверждать, что каждому алгоритму можно поставить в соответствие экстенсионально эквивалентный ему алгоритм, работающий с символами на "бесконечной" ленте по следующим общим правилам.

Рабочее состояние алгоритма в каждый момент его работы определяется текущей рабочей ячейкой и ее содержимым в тот же момент времени. Состояние вычислительного процесса вплоть до данного момента времени полностью определяется текущей рабочей ячейкой, текущим содержимым всей ленты и тем указанием или его номером в заранее оговоренном списке указаний, согласно которому выполняется текущее вычисление. Выбор текущего действия полностью и однозначно определяется содержимым текущей рабочей ячейки. Для реализации любого алгоритма требуется всего три типа действий: изменение содержимого рабочей ячейки; сдвиг рабочей ячейки на одну ячейку вправо или, если возможно, то и влево; останов. Первые два действия содержат также указание, определяющее, к какому следующему указанию надо перейти.

Алгоритмы, указания которых отвечают требованиям такой стандартной формы представления, можно промоделировать на машинах Тьюринга, так как в каждом конкретном случае введение в них предписаний общего характера фактически приводит к адекватному уточнению понятия "алгоритм".

"Базовый комплект" машины Тьюринга (МТ) Т содержит (рис. 3.1):

  • операционное устройство, которое может находиться в одном из дискретных состояний, принадлежащих некоторой конечной совокупности q_{0}, q_{1}, …, q_{s} ;
  • комбинированную читающую и пишущую головку;
  • счетную ленту, обладающую описанными выше свойствами;
  • лентопротяжный механизм, который способен сдвигать находящуюся под головкой текущую рабочую ячейку на одну ячейку вправо или, если это возможно, то и влево (на рис. 3.1 механизм не показан).

Начальным состоянием Т является q_{0}, а ячейки ленты считаются пронумерованными начиная с левого края числами 0, 1, 2, … Читающая и пишущая головка способна выполнять действия (считывать, стирать и записывать) над рабочим алфавитом Т: A = \{a_{1}, a_{2}, …, a_{t}\} и буквой a_{0}, которая символизирует "пусто". Каждая ячейка ленты в каждый момент времени содержит букву из множества A\cup a_{0}, причем почти все ячейки заняты буквой a_{0}.

Конструкция машины Тьюринга (без лентопротяжного механизма)

Рис. 3.1. Конструкция машины Тьюринга (без лентопротяжного механизма)

Лампочка МО зажигается при выполнении указания "машинный останов", а лампочка ПЛ - в случае когда начальная ячейка ленты находится под считывающей головкой, а затребованное действие состоит в сдвиге рабочей ячейки влево (сигнал "переход за край ленты").

Рассмотрим конкретный пример работы простейшей МТ, оперирующей с рабочим алфавитом \{|\}, символом "пусто" вида * и тремя рабочими состояниями q_{0}, q_{1} и q_{2}.

Пусть МТ работает следующим образом [45]:

  1. В состоянии q_{0}: вне зависимости от содержимого рабочей ячейки ( * или | ) Т сдвигает рабочую ячейку вправо и переходит в состояние q_{1}.
  2. В состоянии q_{1}: Т заменяет стоящий в ячейке символ на |, то есть выполняет подстановку вида *\to| или |\to|, и переходит в состояние q_{2}.
  3. В состоянии q_{2}: Т останавливается вне зависимости от содержимого рабочей ячейки.

МТ, работающая согласно приведенному предписанию, фактически делает следующее. После установки головки над некоторой ячейкой ленты (состояние q_{0} ) Т сдвигает рабочую ячейку вправо, стирает содержимое этой ячейки, заносит в нее символ | и останавливается.

Для наглядности проиллюстрируем работу такой МТ с помощью рис. 3.2 -3.7 .

В исходном положении лента содержит только символы "пусто", го ловка размещается над ячейкой, помеченной стрелкой, а Т находится в состоянии q_{0}, обнаруживает символ "пусто", сдвигается вправо на одну ячейку (см. рис. 3.3) и переходит в состояние q_{1} (см. рис. 3.4). Затем Т заменяет символ "пусто" в текущей рабочей ячейке на символ | (см. рис. 3.5) и переходит в состояние q_{2} (см. рис. 3.6). В этом положении согласно предписанию Т останавливается, о чем сигнализирует лампочка МО (см. рис. 3.7).

Исходное положение

Рис. 3.2. Исходное положение
Положение 1

Рис. 3.3. Положение 1
Положение 2

Рис. 3.4. Положение 2
Положение 3

Рис. 3.5. Положение 3
Положение 4

Рис. 3.6. Положение 4
Положение "останов"

Рис. 3.7. Положение "останов"

В данном случае не требуется уточнять, что речь идет о вычислимых только по Тьюрингу функций, так как если функция вычислима по Тьюрингу, она вычислима и по Клини, и по Черчу, и по Маркову, и т. д.

Несмотря на кажущийся примитивизм выполняемых МТ "элементарных" действий, с их помощью можно представить алгоритм вычисления практически любой вычислимой функции. В частности, чтобы машина Тьюринга смогла реализовать приведенный ранее алгоритм,а суммирования достаточно, чтобы она имела три состояния: начальное q _{0}, чтобы выполнить шаг 1, и два рабочих: q _{1} если e^{+}:=0, и q _{2}, если e^{+}:=1.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >
Барбари Шалавеюс
Барбари Шалавеюс
Россия