Анализ потоков данных

Неподвижные точки монотонной функции

Пусть L - ограниченная полурешетка конечной высоты, f - монотонная функция. Можно показать тогда, что

• функция f обладает хотя бы одной неподвижной точкой
• множество всех неподвижных точек f является ограниченной полурешеткой конечной высоты
• наименьшая неподвижная точка f может быть получена итерированием функции f начиная с наименьшего элемента L

Пример

В качестве примера ограниченной полурешетки конечной высоты рассмотрим множество всех подмножеств букв латинского алфавита с операцией пересечения. Понятно, что данная полурешетка является ограниченной - в качестве наибольшего элемента выступает множество всех букв, в качестве наименьшего - пустое множество. Так как множество всех букв конечно, то высота данной полурешетки также будет конечной.

Рассмотрим функцию, которая к своему аргументу добавляет букву a. Легко видеть, что эта функция является монотонной. Наименьшей неподвижной точкой этой функции является множество, состоящее из единственной буквы a, множество всех ее неподвижных точек есть множество подмножеств букв, содержащих букву a.

Произведение полурешеток

Для дальнейшего изложения нам потребуется ввести операцию декартова произведения полурешеток.

Если L₁,L₂,...,L_k - ограниченные полурешетки конечной высоты, то такую же структуру можно ввести и на декартовом произведении этих полурешеток, определяя соответствующие понятия (операцию, наибольший и наименьший элементы) покомпонентно.

Набор монотонных функций f₁,f₂,...,f_k соответственно на полурешетках L₁,L₂,...,L_k аналогичным образом индуцирует монотонную функцию на их декартовом произведении.

Формализация задачи анализа потоков данных

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать формальную постановку задаче анализа потоков данных.

Пусть есть ограниченная полурешетка конечной высоты L, граф потока управления G и набор монотонных на L потоковых функций f_v для каждой вершины v графа G.

Тогда решением задачи анализа потоков данных называется пара наименьших разметок before , after , являющихся решением системы уравнений ( * ), приведенной на слайде.

Неформально говоря, полурешетка L представляет собой множество потоковых фактов, разметка before описывает решение задачи анализа потоков данных до исполнения операторов в данной вершине графа, а разметка after - после. Решеточная операция описывает получение общей части нескольких решений. Систему уравнений можно интерпретировать следующим образом: для каждой вершины решением задачи до нее является общая часть решений всех предшественников данной вершины, а после нее - применение к этой общей части потоковой функции, ассоциированной с данной вершиной.