Спонсор: Microsoft
Опубликован: 23.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1387 / 192 | Оценка: 4.28 / 4.17 | Длительность: 21:37:00
Специальности: Системный архитектор
Лекция 12:

Анализ потока управления

Построение глубинного остовного дерева


На слайде приведен алгоритм построения остовного дерева, определения типов дуг графа по отношению к нему и построения нумераций Pre и Post .

Алгоритм обходит вершины графа, начиная со start . При входе в очередную вершину ей присваивается очередной номер нумерации Pre , при этом номера Pre присваиваются в порядке возрастания. Далее рассматриваются все потомки этой вершины, которые еще не рассматривались. К каждому потомку применяется этот же самый шаг алгоритма - таким образом, обеспечивается обход в глубину. Наконец, после рассмотрения всех потомков текущей вершины ей присваивается очередной номер нумерации Post . При этом номера Post присваиваются в порядке убывания.

По ходу работы алгоритма поддерживается три состояния вершин:

  • Init - вершина еще не рассматривалась алгоритмом
  • InProcess - вершина еще рассматривается алгоритмом (т.е. алгоритм находится в процессе обработки вершин, достижимых из данной)
  • Done - вершина уже исключена из рассмотрения (т.е. все достижимые из нее вершины уже обработаны).

Для определения типа дуги используется состояние конечной вершины и нумерация Pre . Если вершина, в которую можно попасть из данной, еще не рассматривалась, то ребро, по которому в нее можно попасть, объявляется деревянным. Для определения остальных типов дуг используются следующие очевидные утверждения:

  • если в дуге (v, w) w находится в состоянии InProcess, то эта дуга - обратная
  • если в дуге (v, w) w находится в состоянии Done, и Pre(w)<Pre(v), то эта дуга - поперечная
  • если в дуге (v, w) w находится в состоянии Done, и Pre(w)>Pre(v), то эта дуга - прямая

Пример

На слайде приведен пример графа потока управления и одного из его глубинных остовных деревьев. Каждая вершина помечена парой номеров, первый из которых соответствует нумерации Pre, а второй - нумерации Post . Деревянные дуги показаны толстыми линиями, прямые - тонкими, пунктирными линиями показаны обратные дуги и штрих-пунктирной - единственная поперечная дуга.

Граф, полученный удалением обратных по отношению к остовному дереву дуг, называется каркасом (показан в правой части слайда). Можно показать, что каркас графа при произвольном глубинном остовном дереве не содержит контуров.

Простейшие свойства


Граф называется сводимым тогда и только тогда, когда множество обратных дуг совпадает с множеством обратных дуг относительно глубинного остовного дерева для любого такого дерева.

Простейшие свойства нумераций Pre и Post:

  • если вершина v обязательно предшествует вершине w , то Pre(v)<Pre(w), Post(v)<Post(w)
  • прямые в смысле нумерации Pre дуги являются прямыми или деревянными относительно дерева
  • обратные в смысле нумерации Pre дуги являются обратными или поперечными относительно дерева
  • обратные в смысле нумерации Post дуги являются обратными в смысле дерева; остальные дуги являются прямыми относительно нумерации Post
  • если Pre(v)>Pre(w) , то произвольный путь в графе от v до w содержит общего предка v и w в дереве
  • граф сводим тогда и только тогда, когда отношение обязательного предшествования в нем и его каркасе совпадают

Сводимость является одной из основных характеристик графов потока управления. Как видно из определения, в сводимом графе обратные дуги для произвольного остовного дерева совпадают с обратными дугами относительно обязательного предшествования. Учитывая, что каждая обратная дуга определяет в графе потока управления контур (т.е. является абстракцией циклических конструкций языков программирования), циклическая структура сводимого графа является более регулярной, что упрощает анализ его свойств.

Оксана Пагина
Оксана Пагина
Россия, Москва
Александр Королёв
Александр Королёв
Россия