Нейроинформатика
[+]
Опубликован: 01.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1591 / 212 | Оценка: 4.58 / 4.39 | Длительность: 20:15:00
Тема: Искусственный интеллект и робототехника
Специальности: Программист
Теги: алгоритмы, выходной нейрон, вычисления, искусственная жизнь, исследования, кластеры, компоненты, линейное пространство, моделирование, нейрокомпьютер, нейронные сети, нелинейный преобразователь, обучающая выборка, обучение, обучение нейронной сети, ошибка обучения, поиск, программирование, сеть встречного распространения, сеть хопфилда, синапс, тестирование, элементы
Лекция 3:

Быстрое дифференцирование, двойственность и обратное распространение ошибки
A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 123456789 || Лекция 4 >

Сложность вычисления функции и ее градиента

Подсчитаем теперь число операций, необходимых для вычисления всех двойственных переменных \mu (\tau ) для вершин и \mu (\tau ', \tau ) - для ребер.

Во-первых, нужно вычислить все частные производные

$ {\frac{\partial f^\theta (t_1 ,...,t_k )}{\partial t_i }} $

для всех вершин \theta и всех k аргументов "простой" функции, соответствующей каждой вершине. Число таких производных равно сумме числа аргументов для всех функциональных символов, соответствующих вершинам графа, то есть следующей величине E:

E = \sum\limits_{(\tau ,\theta ) \in {\rm{e}}(G)}{P(\tau ,\theta )} .

Договоримся в этом разделе отображать ребра (\tau ', \tau ), имеющие в своих метках P(\tau ', \tau ) больше одного номера, как пучки ребер, идущих от вершины \tau ' к вершине \tau - по одному такому ребру для каждого номера из P(\tau ', \tau ). Число E просто равно числу ребер в графе. Число необходимых умножений и число сложений также не превосходят E.

Количество вычислений "простых" функций при вычислении сложной равно числу вершин графа. Обозначим его V. Отношение E/V дает представление об отношении вычислительных затрат на вычисление градиента к затратам на вычисление функции. Чтобы последовательно использовать эту оценку, а также искать те функции, для которых вычисление градиента еще проще, необходимо зафиксировать исходные предположения. Будем обозначать Tf затраты на вычисление f.

  1. Для каждой вершины графа, соответствующей ей функции f, и любого аргумента этой функции x справедлива оценка T_f \cong T_{\partial f/\partial x} ;
  2. Для функций f=f^\tau (z_1 ,...,z_k ), соответствующих вершинам графа, T_f \ge T_\Sigma ,{\rm{ }}\Sigma = \sum\limits_{i = 1}^k {z_i }, то есть сумма переменных - простейшая функция;
  3. Умножение и сложение имеют примерно одинаковую сложность.

В предположениях 1-3 зафиксирован тот уровень точности, с которым будут делаться оценки. При формальном использовании отношения " a примерно равно b " неизбежны парадоксы типа "куча": один камень не куча, если n камней - не куча, то и n+1 - тоже, следовательно... . Чтобы избежать этого и сделать рассуждения более наглядными, поступим следующим образом. Сложность "простой" функции k переменных и любой ее частной производной оценим как ck, где c - некоторая константа, c \ge 1 ; сложность суммы k слагаемых (и произведения k сомножителей) определим как k-1. Последнее вычитание единицы имеет смысл при рассмотрении большого числа сумм, содержащих мало слагаемых.

Пусть, как и выше, E - число ребер графа, V - число вершин, Vout - число выходных вершин (им не соответствует ни одной суммы в (6)). Сложность прямого прохождения графа (вычисления функций) оценивается как cE.

Обратное прохождение графа при вычислении градиентов складывается из трех слагаемых:

  1. Вычисление всех частных производных простых функций, соответствующих вершинам графа. Необходимо вычислить E таких производных. Сложность вычисления одной такой производной для вершины \tau, имеющей |in(\tau )| входящих ребер, оценивается как c|in(\tau )|. Оценка сложности вычисления всех этих производных дается следующей суммой
    {\rm{T_{Dif} = c}}\sum\limits_\tau {{\rm{|in}}(\tau )|^2 }( \le cE^2 ).
  2. Вычисление всех произведений (7) на ребрах - E произведений (в связи с тем, что мы в данном разделе передачу сигнала на разные входы автомата, вычисляющего f^\tau (z_1 ,...,z_k ), обозначаем различными ребрами, уравнения (7), сохраняя прежнюю внешнюю форму, преобразуются так, что в суммах остается по одному слагаемому, остальное суммирование переносится к вершинам (6)).
  3. Вычисление всех сумм (6) - сложность равна E-(V-Vout).

Итого, полная сложность обратного прохождения сигналов оценивается как

T = T_{Dif} + 2E - (V - V_{out})= c \sum\limits_\tau {{\rm{|in}}(\tau )|^2 } +2E - (V- V_{out}).

Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 123456789 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0