Тверской государственный университет
Опубликован: 03.11.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 3249 / 72 | Длительность: 14:38:00
Лекция 25:

Формально или неформально? Часть 1

< Лекция 1 || Лекция 25
Аннотация: В этом уроке будем заниматься решением логических задач, имеющих содержательную формулировку. Рассмотрим простые задачи, поддающиеся относительно простой формализации в рамках логики высказываний.

Смотреть лекцию на: ИНТУИТ | youtube.com

Если проблемы с видео, нажмите выше ссылку youtube

Get Adobe Flash Player

Задача 1: Жюри состоит из председателя и двух членов. Решение, внесенное председателем, принимается, если его поддерживает хотя бы один из членов жюри.

Формализуем постановку задачи. Введем три логические переменные:

  1. X – истина, если председатель проголосовал "за".
  2. Y1 – истина, если первый член жюри проголосовал "за".
  3. Y2 – истина, если второй член жюри проголосовал "за".

Зададим формулу, истинную, когда жюри принимает решение, предложенное председателем:

F(X, Y1, Y2): (X ≡ Y1) | (X ≡ Y2).

Построим таблицу истинности и проанализируем ее:


Анализ таблицы показывает, что только в двух из 8 возможных случаев принимается решение, не поддерживаемое председателем, что, впрочем, было ясно и без построения таблицы.

Усложним задачу.

Введем третьего члена жюри. Изменим формулу принятия решения. Пусть, решение, предложенное председателем, принимается, если его поддерживают не менее двух членов жюри.

Формула, истинная, когда жюри принимает решение, предложенное председателем, теперь усложняется:

F(X, Y1, Y2, Y3): ((X ≡ Y1) & (X ≡ Y2)) | ((X ≡ Y2) & (X ≡ Y3)) | ((X ≡ Y1) & (X ≡ Y3))

Таблицу истинности строить не буду, оставляю ее для самостоятельного построения. Анализ ее показывает, что теперь голос председателя не является определяющим. Решение, поддерживающее председателя, принимается теперь в 8-и случаях из 16.

Запишите формулу, когда, решение, поддерживающее предложение председателя принимается, когда один из трех членов жюри поддерживает председателя. В скольких случаях будет отвергнуто предложение председателя при таких правилах принятия решения.

Задача 2. Два свидетеля дали следующие показания:

Первый свидетель: Если А виновен, то В и подавно виновен, а С – невиновен.

Второй свидетель: Виновны двое. А точно виновен и виновен один из оставшихся, но кто именно сказать не могу.

Какие заключения о виновности А, В и С можно сделать на основании свидетельских показаний?

Ответ: Из свидетельских показаний следует, что А и В виновны, а С – невиновен.

Решение: Конечно, ответ можно дать, основываясь на здравом смысле. Но давайте рассмотрим, как это можно сделать строго и формально.

Первое, что нужно сделать – это формализовать высказывания. Введем три логические переменные - А, В и С, каждая из которых имеет значение true (1), если соответствующий подозреваемый виновен. Тогда показания первого свидетеля задаются формулой:

A → (B & !C)

Показания второго свидетеля задаются формулой:

A & ((B & !C) | (!B & C))

Показания обоих свидетелей полагаются истинными и представляют конъюнкцию соответствующих формул.

Построим таблицу истинности для этих показаний:


Суммарные свидетельские показания истинны только в одном случае, приводящие к однозначному ответу – А и В виновны, а С – невиновен.

Из анализа этой таблицы также следует, что показания второго свидетеля более информативны. Из истинности его показания следует только два возможных варианта - А и В виновны, а С – невиновен или А и С виновны, а В – невиновен. Показания первого свидетеля менее информативны – существует 5 различных вариантов, соответствующих его показаниям. Совместно показания обоих свидетелей дают однозначный ответ о виновности подозреваемых.

Задача 16: Какое из приведенных чисел удовлетворяет условию:

(цифры, начиная со старшего разряда, идут в порядке убывания) → (число - четное) ∧ (младшая цифра – четная) ∧ (старшая цифра – нечетная)

Если таких чисел несколько, укажите наибольшее.

  1. 13579
  2. 97531
  3. 24678
  4. 15386

Ответ: Условию удовлетворяет число под номером 4.

Решение: Первые два числа условию не удовлетворяют уже по той причине, что младшая цифра является нечетной. Конъюнкция условий ложна, если один из членов конъюнкции ложен. Для третьего числа не выполняется условие для старшей цифры. Для четвертого числа выполняются условия, накладываемые на младшую и старшую цифры числа. Первый член конъюнкции также истинен, поскольку импликация истинна, если ее посылка ложна, что имеет место в данном случае.

< Лекция 1 || Лекция 25
Сергей Волков
Сергей Волков

Приведу пример из лекции "Знания в школе передавались устно, к счастью, один из учеников Пифагора составил три книги с записями его учения." Книги же начали делать гораздо позже. Или имеется ввиду, что сейчас этот объем знаний помещается в три книги?

Оксана Тычинская
Оксана Тычинская

У меня тот же вопрос, что и у Евгения: я решила задачу методом перебора, причем правильного ответа в предложенных вариантах теста к теме номер 2 не оказалось. Как предлагается решить эту задачу методом индукции - непонятно. Почему в тесте отсутсвует правильный ответ (а ведь посчитать число простых чисел в определенном диапазоне совсем несложно) - тоже непонятно.

андрей лошаков
андрей лошаков
Россия, Самарская область
Иван Стукач
Иван Стукач
Россия, г. Великий Новгород