Тверской государственный университет
Опубликован: 03.11.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 3255 / 72 | Длительность: 14:38:00
Лекция 18:

Эквивалентность формул

< Лекция 1 || Лекция 18

Смотреть лекцию на: ИНТУИТ | youtube.com

Если проблемы с видео, нажмите выше ссылку youtube

Get Adobe Flash Player

Одну и ту же функцию можно задать разными формулами. Поэтому возникает задача определения эквивалентности формул логики высказываний.

Две формулы эквивалентны, если они задают одну и ту же функцию. Как можно установить эквивалентность формул? Один из способов состоит в том, чтобы построить таблицу истинности. Если две формулы на всех возможных значениях переменных дают одно и то же значение, то они определяют одну и ту же функцию, следовательно, формулы эквивалентны.

Давайте установим эквивалентности для некоторых функций из таблицы 3 предыдущего урока.

Исключающее Или эквивалентно отрицанию эквивалентности: (X \oplus Y) \equiv \neg (X \equiv Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y X \equiv Y \neg (X \equiv Y) X \oplus Y
0 0 1 0 0
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Штрих Шеффера эквивалентен отрицанию конъюнкции: (X \uparrow Y) \equiv \neg(X &Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y X & Y \neg (X & Y) X \uparrow Y
0 0 0 1 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Операцию Штрих Шеффера называют антиконъюнкцией.

Стрелка Пирса эквивалентна отрицанию дизъюнкции: (X \downarrow Y) \equiv \neg(X | Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y X | Y \neg (X | Y) X \downarrow Y
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 0 0

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Операцию Стрелка Пирса называют антидизъюнкцией.

Импликация X \to Y эквивалентна дизъюнкции Y и отрицания X: (X \to Y) \equiv (\neg X | Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y \neg X \neg X | Y X \to Y
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Эту эквивалентность, позволяющую избавиться от импликаций, часто используют при преобразовании формул.

Конъюнкция X & Y эквивалентна отрицанию дизъюнкции отрицаний: (X & Y) \equiv \neg (\neg X | \neg Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y \neg X \neg Y \neg X | \neg Y \neg (\neg X | \neg Y) X & Y
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Дизъюнкция X | Y эквивалентна отрицанию конъюнкции отрицаний: (X | Y) \equiv \neg (\neg X & \neg Y)

Построим таблицы истинности для этих двух формул:

X Y \neg X \neg Y \neg X & \neg Y \neg (\neg X & \neg Y) X | Y
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1

Два последних столбца таблицы совпадают, - следовательно, формулы эквивалентны.

Почему на практике используется небольшое число функций?

Логических функций много, особенно функций многих переменных. Почему же мы знаем и оперируем небольшим числом функций? Связано это с тем, что одни функции можно выражать через другие, как мы видели на примерах. А можно ли любую функцию выразить через немногие, базисные функции? Ответ на этот вопрос положителен.

Каждую функцию от любого числа переменных можно представить в так называемой нормальной форме, в которой используются только три базисные функции – отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.

< Лекция 1 || Лекция 18
Сергей Волков
Сергей Волков

Приведу пример из лекции "Знания в школе передавались устно, к счастью, один из учеников Пифагора составил три книги с записями его учения." Книги же начали делать гораздо позже. Или имеется ввиду, что сейчас этот объем знаний помещается в три книги?

Оксана Тычинская
Оксана Тычинская

У меня тот же вопрос, что и у Евгения: я решила задачу методом перебора, причем правильного ответа в предложенных вариантах теста к теме номер 2 не оказалось. Как предлагается решить эту задачу методом индукции - непонятно. Почему в тесте отсутсвует правильный ответ (а ведь посчитать число простых чисел в определенном диапазоне совсем несложно) - тоже непонятно.

Юрий Васильев
Юрий Васильев
Россия, г. Москва
Анатолий Федоров
Анатолий Федоров
Россия, Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 1989