Тверской государственный университет
Опубликован: 03.11.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 3249 / 72 | Длительность: 14:38:00
Лекция 10:

Функции

< Лекция 1 || Лекция 10

Смотреть лекцию на: ИНТУИТ | youtube.com

Если проблемы с видео, нажмите выше ссылку youtube

Get Adobe Flash Player

Дадим теперь определение понятия "функция". Начнем с частного, но важного случая функций, действующих из А в В.

Если мы понимаем, что такое отношение, то понять, что такое функция совсем просто. Функция – это частный случай отношения. Каждая функция является отношением, но не каждое отношение является функцией. Какие же отношения являются функциями? Какое дополнительное условие должно выполняться, чтобы отношение являлось функцией?

Вернемся к рассмотрению отношения R, действующего из области определения А в область значений В. Рассмотрим элемент x из А. Этому элементу соответствует в В элемент y, такой, что пара <x, y> принадлежит R, что часто записывают в виде: xRy (например, 5 > 3). Отношению R могут принадлежать и другие пары, первым элементом которых может выступать элемент x – (xRz, xRu, xRv). Для функций такая ситуация невозможна.

Функция – это отношение R, в котором элементу x из области определения соответствует единственный элемент y из области значений.

Пример:

Отношение "иметь брата", представленное на рис.1, функцией не является. Из точки Е в области определения идут две дуги в разные точки области значений, следовательно это отношение функцией не является. Содержательно, Елена имеет двух братьев, так что однозначного соответствия между элементом x из А и элементом y из В нет.

Если же рассмотреть отношение на тех же множествах "иметь старшего брата", то такое отношение функцией является. У каждого человека братьев может быть много, но только один из них является старшим братом. Функциями являются и такие родственные отношения как "отец" и "мать".

Обычно, когда речь идет о функциях, то для общего обозначения функции используется буква F, а не R, как в случае отношений, и общая запись имеет привычный вид: y = F(x).

Пример:

Рассмотрим хорошо известную функцию y = Sin(x). Областью определения этой функции является вся действительная ось: x \in   (- \infty, +\infty). Область значений функции замкнутый интервал на действительной оси: y \in [-1,+1} . График этой функции синусоида, каждой точке на оси X соответствует единственная точка графика y = Sin(x).

Взаимно однозначная функция

Пусть отношение R задает функцию F. Что можно сказать об обратном отношении R^{-1}? Является ли оно также функцией? Совсем не обязательно. Рассмотрим примеры отношений, являющихся функциями.

Для отношения "имеет старшего брата" обратное отношение – это отношение "имеет брата или сестру". Конечно же, это отношение функцией не является. У старшего брата может быть много сестер и братьев.

Для отношений "отец" и "мать" обратным отношением является отношение "сын или дочь", которое также не является функцией, поскольку детей может быть много.

Если рассмотреть функцию у = Sin(x), то обратное отношение x = Arcsin(y) функцией не является, поскольку одному значению y соответствует сколь угодно много значений x. Чтобы рассматривать отношение Arcsin как функцию приходится ограничивать возможные значения x. Отношение Arcsin является функцией, если y \in [-1,+1], а x \in \left [- \frac{ \pi}{2}, +\frac{ \pi}{2} \right ]

Взаимно однозначные функции называют также 1-1 функциями.

Бинарное отношение из А в В задает функцию с одним аргументом. Отношение арности n задает функцию с n – 1 аргументами. Понятно, чтобы n+1-арное отношение представляло функцию от n аргументов, необходимо, чтобы кортежу из n элементов соответствовал единственный элемент в области значений функции. Функция, у которой n аргументов, записывается в привычном виде:

Y = F(X_1,   X_2, … X_n)

< Лекция 1 || Лекция 10
Сергей Волков
Сергей Волков

Приведу пример из лекции "Знания в школе передавались устно, к счастью, один из учеников Пифагора составил три книги с записями его учения." Книги же начали делать гораздо позже. Или имеется ввиду, что сейчас этот объем знаний помещается в три книги?

Оксана Тычинская
Оксана Тычинская

У меня тот же вопрос, что и у Евгения: я решила задачу методом перебора, причем правильного ответа в предложенных вариантах теста к теме номер 2 не оказалось. Как предлагается решить эту задачу методом индукции - непонятно. Почему в тесте отсутсвует правильный ответ (а ведь посчитать число простых чисел в определенном диапазоне совсем несложно) - тоже непонятно.

Алексей Михайлов
Алексей Михайлов
Россия