Тверской государственный университет
Опубликован: 03.11.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 3249 / 72 | Длительность: 14:38:00
Лекция 7:

Отношения

< Лекция 1 || Лекция 7

Смотреть лекцию на: ИНТУИТ | youtube.com

Если проблемы с видео, нажмите выше ссылку youtube

Get Adobe Flash Player

Понятие "отношение" ввел Аристотель в книге "Категории" ранее упомянутого труда "Органон". Если рассматривать некоторые сущности, некоторые объекты, то они могут быть связаны между собой, находиться в некотором отношении. Выше мы говорили об отношении "принадлежит", связывающим элемент и множество, об отношении "содержит", связывающим множество и его подмножество.

Начнем рассмотрение отношений с частного случая бинарного отношения – отношения на двух множествах. Рассмотрим два множества А и В. Рассмотрим бинарное отношение R на этих множествах. Содержательно, отношение R устанавливает какие элементы из А связаны с элементами из В, другими словами, отношение R устанавливает, какая пара <x, y>, где x – элемент А, y – элемент В, принадлежит отношению.

Дадим математически строгое определение отношения и поясним на примерах его суть.

Бинарное отношение R на множествах А и В задает подмножество декартова произведения А \times B:

R \subseteq A \times B

Пример:

Рассмотрим отношение "владеет", устанавливающее связь между машинами и их владельцами. Пусть А = \{Петр, Сергей, Дмитрий, Анна\}, В = \{авто1, авто2, авто 3, авто4\}. Зададим теперь отношение R (отношение "владеет") явно перечислив его элементы:

R = \{<Петр, авто2>, <Анна, авто2>, <Сергей, авто1>, <Сергей, авто4> \}

Содержательно, это отношение устанавливает, что Петр и Анна – оба владеют одной машиной – авто2, Сергей является владельцем двух машин, Дмитрий машины не имеет, а авто3 не имеет владельца.

Пример:

Рассмотрим некоторое множество людей P, связанных родственными отношениями. У Петра и Анны два сына – Михаил и Антон – и дочь – Елена. У Сергея и Татьяны две дочери – Любовь и Нина – и сын Василий. У Елены и Василия родилось два сына – Николай и Владимир. Рассмотрим бинарное отношение x "имеет брата" y, где x и y - элементы множества P.

Перечислим элементы отношения "имеет брата", заданного на декартовом произведении - P \times P: \{<Михаил, Антон>, <Антон, Михаил>, <Елена, Михаил>, <Елена, Антон>, <Любовь, Василий>, <Нина, Василий>, <Николай, Владимир>, <Владимир, Николай> \}

Перечислим элементы отношения "имеет старшего брата", заданного на декартовом произведении - P \times P: \{<Антон, Михаил>, <Елена, Михаил>, <Любовь, Василий>, <Нина, Василий>, <Владимир, Николай> \}

Отношение R часто рассматривают как отношение, действующее из А в В. Отношение имеет область определения и область значений.

Областью определения отношения R называется множество S_R = \{x \in A |\ существует\ элемент\ y \in B,\ такой,\ что\ пара\ <x, y> \in R \}

Областью значений отношения R называется множество G_R = \{y \in B |\ существует\ элемент\ x \in A,\ такой,\ что\ пара\ <x, y> \in R \}

Если R – некоторое отношение из А в В, то можно определить обратное отношение R^{-1} из В в А:

R^{-1} = \{<y, x > |\ существует\ пара\ <x, y> \in R \}

Пример:

Вернемся к множеству P из предыдущего примера. Обратным отношением к отношению "имеет брата" является отношение "имеет брата или сестру". Оно состоит из тех же пар элементов, но взятых в обратном порядке.

Обратным отношением к отношению "имеет старшего брата" является отношение "имеет младшего брата или сестру".

< Лекция 1 || Лекция 7
Сергей Волков
Сергей Волков

Приведу пример из лекции "Знания в школе передавались устно, к счастью, один из учеников Пифагора составил три книги с записями его учения." Книги же начали делать гораздо позже. Или имеется ввиду, что сейчас этот объем знаний помещается в три книги?

Оксана Тычинская
Оксана Тычинская

У меня тот же вопрос, что и у Евгения: я решила задачу методом перебора, причем правильного ответа в предложенных вариантах теста к теме номер 2 не оказалось. Как предлагается решить эту задачу методом индукции - непонятно. Почему в тесте отсутсвует правильный ответ (а ведь посчитать число простых чисел в определенном диапазоне совсем несложно) - тоже непонятно.

Юрий Васильев
Юрий Васильев
Россия, г. Москва
Анатолий Федоров
Анатолий Федоров
Россия, Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 1989