Тверской государственный университет
Опубликован: 03.11.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 3255 / 72 | Длительность: 14:38:00
Лекция 3:

Логический вывод – дедукция

< Лекция 1 || Лекция 3: 12

Метод математической индукции

В математике для доказательства часто используется метод математической индукции. Хотя в названии используется слово "индукция", метод является примером дедуктивного вывода от общего к частному. В простом варианте метод математической индукции сводится к следующему способу доказательства. Пусть необходимо доказать истинность некоторого свойства Q(N), зависящего от значения целого числа N. Достаточно доказать два утверждения:

  • Вначале доказать истинность Q(N0) для некоторого частного случая N = N0. Обычно N0 равно 0 или 1.
  • Далее необходимо доказать общее утверждение: Из справедливости Q(k) для k >= N0, следует справедливость Q(k + 1).

Если оба предыдущих пункта доказаны, то утверждение Q(N) справедливо для всех частных случаев, где N >= N0.

Пример 1: Доказать Q(N):


                \sum_{i=1}^{N}i^2 = \frac{N * (N+1) * (2*N+1)}{6}

  • Базис индукции: (N 0 = 1)
  • Шаг индукции: Пусть \sum_{i=1}^{k}i^2 = \frac{k * (k+1) * (2*k+1)}{6}. Тогда \sum_{i=1}^{k+1}i^2 = \frac{k * (k+1) * (2*k+1)}{6}+(k+1)^2 = \frac{k+1 * ((k+1)+1) *
                    (2*(k+1)+1)}{6}.

Базис и шаг индукции доказаны. Отсюда следует справедливость утверждения для любого значения N >= 1.

Пример 2: Число слов длины n в алфавите T из m символов равно: k = mn.

Доказательство индукцией по длине слова.

  • Базис индукции: N0 = 1. Слов длины 1 ровно m – это символы алфавита T.
  • Шаг индукции: Пусть предположение утверждения выполняется для слов длины k, - таких слов mk. Докажем, что в этом случае утверждение остается истинным и для слов длины k + 1. Действительно, пусть построено множество слов длины k. Тогда можно построить множество слов длины k + 1 следующим образом. Каждое слово длины k можно продолжить одним из символов алфавита, получая слово длины k +1. Таким образом, каждое слово длины k порождает m слов длины k + 1. Никаких других слов длины k + 1, кроме порожденных таким способом, не существует. Отсюда следует, что число слов длины k + 1 равно: mk * m = mk+1, что и требовалось доказать.

Следовательно, наше утверждение справедливо для слов произвольной длины (n >= 1)

< Лекция 1 || Лекция 3: 12
Сергей Волков
Сергей Волков

Приведу пример из лекции "Знания в школе передавались устно, к счастью, один из учеников Пифагора составил три книги с записями его учения." Книги же начали делать гораздо позже. Или имеется ввиду, что сейчас этот объем знаний помещается в три книги?

Оксана Тычинская
Оксана Тычинская

У меня тот же вопрос, что и у Евгения: я решила задачу методом перебора, причем правильного ответа в предложенных вариантах теста к теме номер 2 не оказалось. Как предлагается решить эту задачу методом индукции - непонятно. Почему в тесте отсутсвует правильный ответ (а ведь посчитать число простых чисел в определенном диапазоне совсем несложно) - тоже непонятно.

Юрий Васильев
Юрий Васильев
Россия, г. Москва
Анатолий Федоров
Анатолий Федоров
Россия, Москва, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 1989