Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 1318 / 17 | Длительность: 21:50:00
Лекция 3:

Алгебраические системы

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Аннотация: Изложены основные понятия современной алгебры. Этот материал нужен для понимания алгоритмов шифрования, представленных в следующих лекциях.

3.1 Алгебраические системы

Мы предполагаем, что читатель владеет понятиями группа, кольцо, поле. Поэтому очень кратко изложим элементы теории с нужными нам для дальнейшего акцентами.

3.1.1 Алгебраическая операция

В основе всех понятий, изучаемых в различных разделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции.

Пусть G - множество (элементами G могут быть числа или функции или объекты геометрической природы и т.д.).

Определение 3.1 Говорят, что на G задана бинарная алгебраическая операция, если любой упорядоченной паре (a,b) элементов a,b\in G ставится в соответствие однозначно определённый элемент f(a,b) этого же множества G.

Определение 3.2 Группоидом называется всякое непустое множество, в котором задана алгебраическая операция.

Иногда вместо f(a,b) пишут afb, а ещё чаще бинарную операцию на G обозначают каким-нибудь специальным символом: \ast, \circ, \cdot, +, так будем поступать и мы, называя a\cdot b (или просто ab) произведением элементов a и b. Таким образом, равенство

ab=c ( 3.1)

будет в дальнейшем иметь следующий смысл: упорядоченной паре a,b из G ставится в соответствие элемент c. Иногда (там, где это будет удобнее) вместо "произведение" будем заменять на "сумму", см. таблицу 3.1.

Замечание 1. Можно рассматривать бинарную операцию в "широком смысле": некоторым упорядоченным парам элементов из G ставится в соответствие один или несколько элементов из G. Такой, более общий подход "имеет право на существование", он приводит к интересным результатам, однако мы, исходя из наших целей, будем придерживаться понятия алгебраической операции, приведённого выше.

Замечание 2. Наряду с бинарными алгебраическими операциями имеет смысл рассматривать и более общие n-арные операции (унарные при n=1, тернарные при n=3, и т.д.), а также и их комбинации. Нас же будут интересовать, за редкими исключениями, именно бинарные операции.

На множестве G можно задать много различных операций. Если хотят выделить одну из них, то пишут (G,\ast).

Пример 3.1

  1. На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Таким образом, заданы группоиды (\mathbb{Z},+) и (\mathbb{Z},\cdot).
  2. На \mathbb{Z} можно задать и другие операции: m\nearrow n = m^n, m \ast n = m + n -mn, получим группоиды (\mathbb{Z},\nearrow) и (\mathbb{Z}, \ast), и т.д.
  3. На множестве G невырожденных матриц порядка n (n\geq1): а) матричное умножение - алгебраическая операция, б) матричное сложение - нет.
  4. Пусть G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}. Сложение не является бинарной алгебраической операцией (объясните, почему).
  5. Рассмотрим множество векторов на плоскости. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией (почему?).
  6. Рассмотрим множество векторов на плоскости и определим сложение векторов по "правилу треугольника". Это - алгебраическая операция.
  7. Векторное произведение векторов - алгебраическая операция.

Для задания группоида нужно задать множество G и то правило, по которому можно найти значение операции \ast для любых двух элементов из G. В том случае, когда множество G конечно, всю эту информацию можно записать таблицей, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества G, а на пересечении строки с входом a и столбца с входом b располагается значение операции a\ast b.

Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида (G; \ast) в честь английского математика Артура Кэли (1821-1895). Если G=\{a_1,\ldots,a_n\}, то таблица Кэли для группоида (G,\ast) имеет следующий вид:

\ast a_1 \cdots a_j \cdots a_n$
a_1 a_1\ast a_1 \cdots a_1\ast a_j \cdots a_1\ast a_n
a_2 a_2\ast a_1 \cdots a_2\ast a_j \cdots a_2\ast a_n
\vdots \vdots \vdots \vdots
a_n a_n\ast a_1 \cdots a_n\ast a_j \cdots a_n\ast a_n

Исходя из такого задания группоида, легко подсчитать, сколько различных операций можно определить на множестве G порядка n. В каждую из n^2 клеток таблицы Кэли можно записать любой из n элементов множества G. Отсюда видно, что таблицу Кэли можно составить в n^{n^2} вариантах, то есть на множестве G из n элементов существуют n^{n^2} различных группоидов.

Таблица 3.1. Различные терминологии для алгебраических операций
Мультипликативная терминология Аддитивная терминология
Умножение a\cdot b = ab Сложение a+b
a, b - множители a, b - слагаемые
Нейтральный элемент - единица (1) Нейтральный элемент - ноль (0)
Обратный элемент a^{-1} Противоположный элемент -a
\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\ \text{раз}} = a^n - степень \underbrace{a+ a+\ldots +a}_{n\ \text{раз}} = n\cdot a - кратное

3.1.2 Нейтральные и обратные элементы

Определение 3.3 Элемент e_r (или e_l) группоида (G, \ast) называется правым (соответственно, левым) нейтральным, если a\cdot e_r = a для любого элемента a\in G (соответственно, e_l*a=a). Элемент e группоида (G, \ast) называется нейтральным, если он является одновременно левым и правым нейтральным.

Ясно, что если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

В зависимости от терминологии (см. таблицу 3.1), нейтральный элемент могут называть единицей или нулем.

Определение 3.4 Пусть G - группоид, e - его правый (или левый) нейтральный элемент, и a\in G, то правым (соответственно, левым) обратным элементом для элемента a относительно правого (или левого) нейтрального элемента e называется такой b\in G, что a\ast b=e (соответствено, b\ast a=e).

В общем случае в группоиде с нейтральным элементом элемент может не иметь обратных, может иметь один или несколько обратных. Более определённо вопрос о числе обратных элементов решается в группоидах с ассоциативной операцией, см. ниже.

Конструировать разные бинарные операции на множестве можно неограниченно, но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща. Поэтому рассматривают структуры при некоторых естественных ограничениях.

Чаще всего нас будет интересовать выполнимость ассоциативного и коммутативного законов для операции.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Юлия Мышкина
Юлия Мышкина

Обучение с персональным тьютором осуществляется по Скайпу или посредством переписки?

Владимир Крюков
Владимир Крюков
Казахстан