Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 1319 / 17 | Длительность: 21:50:00
Лекция 1:

Основы теории чисел

Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >
Аннотация: В первой лекции мы приводим основные понятия теории чисел. Вводим определение сравнимости по модулю и формулируем основные свойства сравнений. Таким образом мы подготавливаем учащегося к освоению собственно криптографических тем.

1.1 Основы теории чисел

При необходимости более глубокого знакомства с материалом можно воспользоваться любым из университетских учебников алгебры и теории чисел. Кроме того, имеются пособия по криптографии, содержащие необходимый минимум теоретических сведений в указанных областях. В частности, отметим пособие [1], особенно полезными мы считаем главы 2 и 3 этой книги. Мы приводим краткие сведения из теории и примеры решения некоторых задач по теории чисел.

1.1.1 Делимость

Будем считать известными свойства операций над целыми числами (сложения, вычитания, умножения), понятие модуля целого числа и свойства модуля.

Рассмотрим свойства отношения делимости во множестве целых чисел, это множество обозначается \mathbb{Z}.

Определение 1.1 Целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число c, что a=b\cdot c. Число a называется делимым, b - делителем, c - частным.

Если число a делится на b, то пишут a\, \vdots \,b (a кратно b).

Отношение делимости a\, \vdots \,b в \mathbb{Z} обладает следующими свойствами:

  1. Для любого a\in \mathbb{Z} имеем a\, \vdots \,a.
  2. Отношение делимости транзитивно, т. е. из a\, \vdots \,b и b\, \vdots \,c следует a\, \vdots \,c.
  3. Если a\, \vdots \,b, то  -a\, \vdots \,b, a\, \vdots \,-b и -a\, \vdots \,-b, т. е. отношение делимости сохраняется при изменении знаков делимого и делителя.
  4. Если a\, \vdots \,c и b\, \vdots \,c, то (a+b\, \vdots \,c.
  5. Если a \, \vdots \,c и b \in \mathbb{Z}, то (ab)\, \vdots \,c.

    Отметим, что утверждения, обратные 4 и 5, ложны: из делимости суммы не вытекает делимость слагаемых, а из делимости произведения не вытекает делимость сомножителей.

    Например, 35+13=48 делится на 12, но ни 35, ни 13 не делятся на 12; 3\cdot 8=24 делится на 12, но ни 3, ни 8 на 12 не делятся.

  6. Если a \, \vdots \,c, а b не делится на c, то a \pm b не делится на c.
  7. Нуль делится на любое число b.
  8. Любое число a делится на 1.
  9. Если a \neq 0, то не существует такого q, что 0 \cdot q = a.
  10. Если a \, \vdots \,b, то |a| \geq |b|.

1.1.2 Деление с остатком

Определение 1.2 Разделить целое число a на целое число b \neq 0 с остатком - это значит найти два таких целых числа q и r, чтобы выполнялись условия:

  1. a=bq+r
  2. 0 \leq r<|b|.

Число q называется неполным частным, а число r - остатком от деления a на b.

Заметим, что остаток - всегда есть число неотрицательное, а вот неполное частное может быть каким угодно целым числом. Поэтому на вопрос: "Сколько будет минус пять поделить на три с остатком?", правильный ответ: "Неполное частное минус два, остаток - один".

Теорема 1.1 Каковы бы ни были целое число a и целое число b \neq 0, всегда возможно, и притом единственным способом, разделить a на b с остатком.

1.1.3 Наибольший общий делитель

Определение 1.3 Целое число \delta \neq 0 называется общим делителем целых чисел a_1, a_2, \dots, a_n, если каждое из этих чисел делится на \delta.

Определение 1.4 Целое число d называется наибольшим общим делителем чисел a_1, a_2, \dots, a_n, если:

  1. d является общим делителем этих чисел;
  2. d делится на любой общий делитель чисел a_1, a_2, \dots, a_n.

Теорема 1.2 Наибольший общий делитель чисел a_1, a_2, \dots, a_n определён однозначно с точностью до знака (т.е. если d_1 и d_2 наибольшие общие делители чисел a_1, a_2, \dots, a_n, то либо d_1=d_2, либо d_1=-d_2).

Условимся всегда рассматривать положительное значение наибольшего общего делителя чисел a_1, a_2, \dots, a_n. Обозначение: d=НОД(a_1, \dots, a_n ).

Пример 1.1 НОД(135,-180)=45.

Действительно, множество положительных делителей числа 135 есть A={1,3,5,9,15,27,45,135}, а для числа -180 такое множество имеет вид B={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,$ $36,45,60,90,180}. Пересечение этих множеств A \cap B = {1,3,5,9,15,45}. Число 45 является общим делителем чисел 135 и -180 и делится на все остальные общие делители этих чисел. Значит, НОД(135,-180)=45. Заметим, что 45 - наибольший по величине положительный общий делитель чисел 135 и -180.

Для любых целых чисел a_1, a_2, \dots, a_n их наибольший общий делитель является наибольшим по величине положительным общим делителем.

Однако данное здесь определение является более удобным, так как распространяется на достаточно большой класс объектов, в частности, на многочлены. Определение же, включающее слова "наибольший по величине", не применимо к многочленам.

Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >
Юлия Мышкина
Юлия Мышкина

Обучение с персональным тьютором осуществляется по Скайпу или посредством переписки?

Артур Гибадуллин
Артур Гибадуллин
Россия, г. Нижневартовск