Опубликован: 22.01.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 257 / 3 | Длительность: 16:29:00
ISBN: 978-5-9556-0167-0
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 8:

Принципы квантовых вычислений

< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >

Основные положения лекции 9

Основным элементом квантового процессора является кубит. Так же называют и соответствующую единицу квантовой информатики. Кубит, как квантовый объект, может находиться не только в двух базовых состояниях |0\rangle и |1\rangle, но и в любом гибридном состоянии. Множество состояний кубита может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с точками сферы единичного радиуса – т.н. сферы Блоха. В наиболее распространенной интерпретации принято, что состоянию |0\rangle соответствует южный, состоянию |1\rangle – северный полюс сферы Блоха, а волновая функция кубита в гибридных состояниях описывается выражением


\Psi=\Psi(|1\rangle)e^{-i\varphi}\cos(\theta/2) + \Psi(|0\rangle)e^{i\varphi}\sin(\theta/2),
где \theta и \varphi – углы сферической системы координат, \Psi(|0\rangle) и \Psi(|1\rangle) – волновые функции кубита в базовых состояниях, а множители при них – это комплексные числа ("амплитуды").

В кубите "хранится" несравненно больше информации, чем один классический бит, но считать из него классическим прибором можно лишь один бит информации. Вероятности считывания "0" и "1" задаются выражением


P(1)=\cos^2(\theta/2);\quad P(0)=\sin^2(\theta/2).

Совокупность слабо связанных кубитов, в которой энергия взаимодействия между кубитами значительно меньше, чем энергия взаимодействия внутри каждого кубита, называют квантовым регистром. Состояния квантового регистра, при которых каждый кубит находится в одном из "базовых" состояний, называют "базисными" и обозначают как |x_1\ldots x_n\rangle, где каждая переменная принимает значение "0" или "1" и указывает на базовое внутреннее состояние соответствующего кубита. Квантовый регистр из n кубитов может находиться и во многих других "смешанных" состояниях, которые образуют гильбертово пространство с размерностью 2^n. Состояния квантового регистра, которые нельзя описать волновыми функциями отдельных кубитов или нескольких групп кубитов, называют "сплетенными". Оказывая влияние на один или на несколько из взаимосвязанных кубитов, находящихся в сплетенном состоянии, мы вызываем одновременное взаимосогласованное изменение 2^n комплексных чисел (амплитуд). Благодаря этому достигают невиданного в классической информатике параллелизма обработки информации, который с увеличением числа кубитов возрастает экспоненциально.

"Квантовая логика" оказалась несравненно богаче классической. Ведь операндами квантовых логических операций являются не булевы переменные (0 и 1), а квантовые состояния или соответствующие им векторы многомерного пространства. Поэтому и количество возможных вариантов даже однокубитных логических операций бесконечно возрастает. Все однокубитные логические операции имеют своей геометрической интерпретацией определенный поворот вектора состояния кубита на сфере Блоха. Все они могут быть сведены к комбинации лишь двух поворотов: на определенный угол \theta и на определенный азимутальный угол \varphi. Наиболее употребительны следующие однокубитные логические операции: инверсия (отрицание); инверсия фазы; преобразование Адамара; запись \Psi(|0\rangle) или \Psi(|1\rangle).

Множество квантовых логических операций над многими кубитами еще мощнее. Выполнение уже одной квантовой логической операции над одним из взаимосвязанных кубитов приводит к изменению состояния всей квантовой системы в целом. Наиболее известной и часто употребляемой многокубитной квантовой логической операцией является "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT, C_{NOT}). В ней один из кубитов считается "управляемым" ("контролируемым"), а другие – "управляющими" ("контролирующими"). Состояние управляемого кубита изменяется на противоположное лишь в том случае, если все управляющие кубиты находятся в базовом состоянии \Psi(|1\rangle). Многокубитная квантовая логическая операция Уолша-Адамара переводит квантовый регистр из любого базисного состояния в максимально сплетенное. Часто употребляется также двухкубитная логическая операция обмена квантовых состояний SW\!\!AP |x,y\rangle=|x,y\rangle.

Обработку информации путем применения квантовых логических операций можно описывать по-разному: как выполнение в определенной последовательности элементарных преобразований (в этом случае говорят о квантовых алгоритмах или программах) или как последовательную обработку потока данных сетью квантовых логических вентилей или "гейтов" (тогда говорят о квантовых схемах). Оба эти подхода, как и в классической вычислительной технике, являются эквивалентными. Считается, что для квантовых вычислений действует тезис Черча-Тьюринга-Дойча: с помощью квантовых логических схем (квантовых алгоритмов) можно смоделировать любой физический процесс, ограниченный в пространстве и во времени.

Разработано уже немало эффективных квантовых алгоритмов для решения таких практически важных задач, как быстрые квантовые преобразования Фурье, факторизация 200-300-значных целых чисел, поиск в неструктурированной базе данных, преобразование числовых матриц больших размеров, нахождение собственных значений и собственных векторов матричных операторов, решение многомерных задач дискретной оптимизации и т.п. Квантовые вычисления значительно эффективнее классических при моделировании поведения многокомпонентных квантовых систем – сложных молекул, химических радикалов, взаимодействий между ними, атомных ядер, других ансамблей из многих элементарных частиц, биологических мембран и др. Во всех этих задачах используются существенные преимущества сплетенных состояний и экспоненциально возрастающий квантовый параллелизм обработки информации в таких состояниях. Поэтому конец ХХ - начало ХХІ в. ознаменовались значительной активизацией исследований и разработок квантовых алгоритмов, подходов к программированию квантовых вычислений, а также путей реализации кубитов и квантовых схем.

Эксперименты уже с первыми действующими образцами квантовых процессоров вывили тот факт, что отдельные кубиты и тем более группы кубитов не удается долго удерживать в "когерентном" состоянии. Как ни стараются экспериментаторы, им не удается полностью исключить влияние хаотических внешних воздействий. Квантовые логические операции тоже не выполняются абсолютно точно. Поэтому и наблюдается постепенная потеря когерентности. В случае взаимодействия многих кубитов, особенно в сплетенных состояниях, это приводит к непредвиденному изменению состояния всего квантового регистра. Такие явления называют "декогерентизацией". Из-за нее в квантовых вычислениях происходят ошибки, и дальше эволюция квантового процессора становится уже неконтролируемой. Однако показано, что с разрушительным влиянием декогерентизации можно успешно бороться с помощью хорошо продуманных методов избыточного кодирования, периодического контроля, своевременного выявления и квантовой коррекции ошибок. Найденные методы позволяют поддерживать контролируемый процесс квантовых вычислений как угодно долго, если вероятность ошибки при выполнении одной квантовой логической операции ниже определенного уровня – порядка одной ошибки на 104–105 квантовых операций.

Для эффективности использования квантовый процессор должен функционировать в комбинации с быстродействующим классическим компьютером. Элементная база квантового процессора должна удовлетворять целому ряду технических требований: не менее чем порядка 1000 кубитов; возможность надежной записи информации в значительное число кубитов и промежуточного считывания состояния некоторых кубитов; выполнение функционально полного набора квантовых логических операций; возможность считывания конечного результата из всей выходной части квантового регистра; время сохранения когерентности должно быть достаточным для выполнения по крайней мере 104–105 квантовых логических операций и др.

Предложены и экспериментально проверены уже десятки вариантов физической реализации кубитов. Их реализуют на основе магнитных моментов электронов и ядер атомов в постоянном магнитном поле ("спиновые кубиты"), на основе дискретных энергетических состояний электронов в "квантовых точках", ионах или атомах, локализованных в определенных местах с помощью специальной конфигурации системы электродов или с помощью т.н. "оптической решетки". Как кубиты могут рассматриваться также и отдельные кванты электромагнитного поля – фотоны видимого или инфракрасного света, импульсы ультракоротких радиоволн, разные "моды" акустических колебаний и т.п. Предложены и исследуются много вариантов и совсем "экзотических" кубитов.

Набор для практики

Вопросы для самоконтроля

  1. Что такое "кубит"? Чем он отличается от классических бистабильных элементов?
  2. Что такое "сфера Блоха"? Каково наиболее употребляемое соответствие между состояниями кубита и точками на сфере Блоха? Напишите соответствующие формулы.
  3. Что происходит при считывании информации с кубита классическим бистабильным устройством? Запишите формулы для вероятностей считывания "0" и "1".
  4. Чем квантовый регистр отличается от классического?
  5. Что такое "сплетенные состояния"? Как они связаны с параллелизмом обработки информации и как он возрастает с увеличением числа кубитов в квантовом регистре?
  6. Какие однокубитные квантовые логические операции Вы знаете? Расскажите, как действуют наиболее употребляемые из них.
  7. Какую геометрическую интерпретацию имеют однокубитные квантовые логические операции? Дайте такую интерпретацию однокубитным квантовым логическим операциям отрицания, инверсии фазы, преобразованию Адамара.
  8. В чем заключается двухкубитная квантовая логическая операция SWAP?
  9. В чем заключается многокубитная квантовая логическая операция "контролируемое отрицание"? Начертите схему квантового логического вентиля .
  10. В чем заключается многокубитная квантовая логическая операция Уолша-Адамара?
  11. В чем заключается квантовая логическая операция Тоффоли?
  12. В чем состоит разница между квантовыми алгоритмами и квантовыми логическими схемами?
  13. Что утверждает тезис Черча-Тьюринга-Дойча?
  14. Для чего предназначены квантовые алгоритмы П. Шора и Л. Гровера? На чем основана их эффективность?
  15. Что такое "декогерентизация"? К чему она приводит?
  16. Имеются ли пути обеспечения надежности квантовой обработки информации? Какие для этого надо выполнить условия?
  17. Можете ли Вы начертить функциональную схему электронного комплекса для квантовых вычислений? Расскажите в общих чертах, как этот комплекс функционирует.
  18. Каким техническим требованиям должна удовлетворять элементная база квантового процессора?
  19. Какие варианты физической реализации кубитов Вы можете назвать?
< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >
Екатерина Шубина
Екатерина Шубина

Где можно посмотреть информацию о физических ограничениях на значения характеристик компьютеров

Екатерина Фадеева
Екатерина Фадеева
Россия, Калининград