Опубликован: 22.01.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 257 / 3 | Длительность: 16:29:00
ISBN: 978-5-9556-0167-0
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 8:

Принципы квантовых вычислений

< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >

Квантовый регистр и сплетенные состояния

Еще более разительными оказались особенности совокупности взаимосвязанных кубитов – квантовых регистров. Когда кубиты взаимодействуют между собой, то квантовая механика обязывает рассматривать регистр как единую квантовую систему. Если энергия взаимодействия между кубитами значительно меньше, чем энергия взаимодействия внутри каждого кубита, то можно говорить о "базисных" состояниях квантового регистра, которые состоят из "базовых" состояний каждого кубита. Такие состояния обычно обозначают как |x_1\ldots x_n\rangle, где каждая переменная принимает значение "0" или "1" и указывает на базовое внутреннее состояние соответствующего кубита. Квантовый регистр, как систему кубитов, в таких состояниях описывают ортонормированными "базисными" волновыми функциями \Psi(|x_1\ldots x_n\rangle). Согласно принципу суперпозиции квантовый регистр из n кубитов может находиться и во многих других "гибридных" состояниях, которые описываются волновыми функциями, являющимися линейными комбинациями "базисных" волновых функций:


\Psi=\sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} A_{\overrightarrow{i}}\Psi(|\overrightarrow{i}\rangle),
( 8.16)

Здесь векторный индекс \overrightarrow{i} – это n-разрядные двоичные коды, которые пробегают все возможные значения от |00\ldots 0\ldots 0\rangle до |11\ldots 1\ldots 1\rangle; A_{\overrightarrow{i}} – комплексные числа. Их называют "амплитудами". Они должны удовлетворять условию нормирования на единицу:


\sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} \left|A_{\overrightarrow{i}}\right|^2 = 1.
( 8.17)

Как видим, в отличие от классического n-разрядного регистра, который может находиться лишь в 2^n различных состояниях, квантовый регистр может находиться в гораздо более мощном множестве различных состояний. Каждому состоянию можно поставить во взаимно однозначное соответствие единичный вектор 2^n-мерного пространства, которое является т.н. "гильбертовым пространством". Уже 4-разрядный регистр, например, может находиться в состояниях, которые описываются единичными векторами 16-мерного гильбертова пространства.

Большинство состояний квантового регистра никак нельзя описать волновыми функциями отдельных кубитов. Такие состояния называют "сплетенными" (англ. entangled). В случае системы из трех кубитов таким является, например, состояние регистра, описываемое волновыми функциями


\Psi=\frac{\sqrt{2}}{2}[\Psi(|111\rangle)-\Psi(|000\rangle)] \text{ или } \Psi=\frac{\sqrt{3}}{3}[\Psi(|111\rangle)-i\Psi(|100\rangle)+\Psi(|011\rangle)].

Когда квантовый регистр находится в "сплетенном" состоянии, то любое взаимодействие с любым из его кубитов непременно приводит к изменению состояния не только этого кубита, а и всего квантового регистра в целом. Это свойство на английском языке называют "entanglement" – сплетенность.

Некоторое представление об этом непривычном для классической физики квантовом явлении дает приведенная на рис. 8.2 фотография 4-х взаимосвязанных волн на поверхности жидкости и объяснение к ней.

Волновые структуры на поверхности воды имитируют состояния 4-х "сплетенных" кубитов квантового регистра, а ниточки – индивидуальные каналы влияния на них. Фото помогает осознать то, что попытка повлиять на любой кубит, непременно вызовет изменения и в остальных кубитах. Оно также демонстрирует "когерентность" кубитов – сцепление фаз всех колебаний

Рис. 8.2. Волновые структуры на поверхности воды имитируют состояния 4-х "сплетенных" кубитов квантового регистра, а ниточки – индивидуальные каналы влияния на них. Фото помогает осознать то, что попытка повлиять на любой кубит, непременно вызовет изменения и в остальных кубитах. Оно также демонстрирует "когерентность" кубитов – сцепление фаз всех колебаний

Но, наверное, важнейшим для информатики является обусловленный сцеплением параллелизм преобразований информации. Ведь определенным образом влияя на один или на несколько из взаимосвязанных кубитов, находящихся в сплетенном состоянии, мы вызываем взаимосогласованное одновременное изменение 2^n комплексных чисел – амплитуд в выражении (8.16). Параллелизм обработки информации с увеличением числа кубитов возрастает экспоненциально!

Уже, например, при n=100 мы одновременно нацелено изменяем 2^{100}\approx 10^{30} комплексных чисел! Подчеркнем: изменяем одновременно и взаимосогласованно. Такой параллелизм явно не по силам классической вычислительной технике.

Впрочем, потенциальными возможностями небывалого параллелизма в обработке квантовой информации надо еще суметь воспользоваться.

Квантовые логические операции, их особенности

В классической вычислительной технике для обработки информации применяют логические операции, операндами которых являются булевы переменные, – состояния классических бистабильных элементов, которые могут принимать лишь одно из двух значений ("0" или "1"). В случае кубитов операндами являются квантовые состояния или соответствующие им векторы многомерного пространства. Поэтому и количество возможных вариантов их элементарных преобразований бесконечно возрастает. "Квантовая логика" оказалась несравненно богаче классической.

В случае одного кубита возможны все преобразования вида


A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow C\Psi(|1\rangle)+D\Psi(|0\rangle),
( 8.18)
где A,B,C,D – произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки

|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2=1.
( 8.19)
Такие преобразования называют "унитарными".

Обращаясь к сфере Блоха ( рис. 8.1), можно увидеть их геометрическую интерпретацию: все унитарные преобразования соответствуют определенному повороту вектора состояния кубита. Поэтому все они могут быть сведены к комбинации лишь двух видов преобразований, один из которых соответствует повороту вектора состояния кубита по азимуту \varphi на какой-либо угол от 0 до 2\pi (или от -\pi до \pi), а второй – изменению угла \theta с осью OZ.

Наиболее употребительны такие однокубитные преобразования:

тождественное:


A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle),
( 8.20)
инверсия (отрицание):

A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow -B\Psi(|1\rangle)-A\Psi(|0\rangle).
( 8.21)
В первом случае вектор состояния на сфере Блоха остается неподвижным, во втором – изменяется на диаметрально противоположный.

Установка (запись) "0":


A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \Psi(|0\rangle),
( 8.22)
установка (запись) "1":

A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \Psi(|1\rangle).
( 8.23)

В обоих случаях независимо от начального состояния кубит переводится в состояние "0" или "1" (вектор состояния на рис. 8.1 совпадает с базисным вектором |0\rangle или |1\rangle).

Инверсия фазы:


A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow -A\Psi(|1\rangle)-B\Psi(|0\rangle).
( 8.24)
(вектор состояния поворачивается вокруг оси OZ на угол \pi).

Перевод в смешанное состояние (преобразование Адамара) \widehat{H}:


A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\left[(A+B)\Psi(|0\rangle) + (B-A)\Psi(|1\rangle)\right].
( 8.25)
В частности, оно переводит "базовые" состояния в суперпозицию с максимальным сцеплением:

\widehat{H}\Psi(|1\rangle) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\Psi(|0\rangle)-\Psi(|1\rangle)\right];\quad \widehat{H}\Psi(|0\rangle) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\Psi(|0\rangle)+\Psi(|1\rangle)\right].
( 8.26)
Считывание информации из кубита классическим устройством можно описать как вероятностное унитарное преобразование

A\Psi(|1\rangle)+B\Psi(|0\rangle)\rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
"\Psi(|1\rangle)\text{ с вероятностью }P(1)=|A|^2;\\
"\Psi(|0\rangle)\text{ с вероятностью }P(0)=|B|^2.
\end{aligned}
\right.
( 8.27)

Множество квантовых логических операций над многими кубитами еще мощнее. Выполнение уже одной квантовой логической операции над одним из взаимосвязанных кубитов приводит к изменению состояния всей квантовой системы в целом. Например, операция установления одного из кубитов в "0" приведет к тому, что в суперпозиции (8.16) станут равными нулю амплитуды всех слагаемых с теми векторами состояния, в которых на соответствующем месте стоит "1". А обязательная перенормировка приведет к тому, что изменятся амплитуды и всех других слагаемых. Таким образом, логическая операция над одним из взаимосвязанных кубитов является уже многокубитной. Такой является и совокупность однокубитных операций, которые одновременно действуют на несколько взаимосвязанных кубитов.

Наиболее известной и часто употребляемой многокубитной квантовой логической операцией является "контролируемое отрицание" (Controlled-NOT), которую сокращенно обозначают C_{NOT}. В ней один из кубитов считается "управляемым" ("контролируемым"), а другие – "управляющими" ("контролирующими"). Состояние управляемого кубита меняется на противоположное лишь в том случае, если все управляющие кубиты находятся в состоянии |1\rangle. В квантовых схемах вентиль C_{NOT} изображают так, как показано на рис. 8.3,а. Некоторые управляющие кубиты могут быть активными в состоянии "0", тогда на схеме их изображают темным кружочком ( рис. 8.3,б).

Частным случаем является трехкубитная операция Тоффоли, которая определяется формулами


\widehat{T}|1,1,x\rangle=|1,1,\neg x\rangle;\quad \widehat{T}|x,y.0\rangle = |x,y,x\wedge y\rangle.
( 8.28)
Т.е., если оба управляющие кубита находятся в базовом состоянии "1", а управляемый кубит – в любом состоянии, кроме "0", то состояние управляемого кубита изменяется на противоположное. Если же управляемый кубит находится в базовом состоянии "0", а управляющие – в любых базовых состояниях ("0" или "1"), то в результате преобразования управляемый кубит переходит в чистое состояние, которое является конъюнкцией состояний управляющих кубитов.


Рис. 8.3.

Действие вентиля Тоффоли в последнем случае изображено в виде схемы на рис. 8.3,в. С его помощью можно реализовать любую классическую логическую операцию.

Одновременное применение операции Адамара к каждому кубиту квантового регистра называют операцией (или преобразованием) Уолша-Адамара. Она позволяет перевести квантовый регистр из любого базисного состояния в максимально сплетенное.

Часто употребляется также двухкубитная логическая операция SWAP обмена квантовых состояний:


SWAP|x,y\rangle = |y,x\rangle .
( 8.29)

Одновременное считывание информации из всех кубитов квантового регистра можно описать вероятностным преобразованием


\Psi=\sum_{\overrightarrow{i}=|00\ldots 0\rangle}^{\overrightarrow{i}=|11\ldots 1\rangle} A_{\overrightarrow{i}}\Psi(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle) \rightarrow \Psi(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle) \text{ с вероятностью } P(\left|\overrightarrow{i}\right\rangle)=\left|A_{\overrightarrow{i}}\right|^2,
( 8.30)
где \overrightarrow{i}n-разрядные двоичные коды, пробегающие все значения от |00\ldots 0\ldots 0\rangle до |11\ldots 1\ldots 1\rangle. Квантовый регистр оказывается в базисном состоянии \Psi(\left|\overrightarrow{i}\right).

Возможны и операции частичного считывания информации лишь с некоторых кубитов регистра. Вероятность каждого результата равняется тогда сумме квадратов амплитуд всех слагаемых, в составе которых эти кубиты находятся в соответствующих состояниях. И только эти слагаемые сохраняются в сумме, которая описывает состояние регистра в результате считывания.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >
Екатерина Шубина
Екатерина Шубина

Где можно посмотреть информацию о физических ограничениях на значения характеристик компьютеров

Сергей Ронин
Сергей Ронин
Россия
Антон Хотулёв
Антон Хотулёв
Россия