Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

1.4. Задачи

  1. Построить разностную схему, аппроксимирующую задачу Коши для уравнения переноса

    $ \frac{{\partial}u}{{\partial}t} - \frac{\partial u}{{\partial}x} = 
f(t , x), u(0, x) = {\varphi}(x),  - \infty  < x < \infty , t > 0   $

    с помощью аппроксимации первых производных со вторым порядком точности.

    Решение. Аппроксимация уравнения переноса со вторым порядком точности по схеме с центральными разностями

    $ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n - 1}}}{{2{\tau}}} - \frac{{u_{m + 1}^{n}   - u_{m - 1}^{n}}}{{2h}} = f_m^{n}, n = 0, \ldots , N - 1 , m = 1 , \ldots , M - 
1.  $

    Для аппроксимации начальных условий необходимо задать не только u_m^0 = {\varphi}_m, но и значение u_m^1, которое можно вычислить с помощью, например, формулы Тейлора:

    $  u_m^1 = u_m^0 +{\tau}\left({\frac{{\partial}u}{{\partial}{t}}}\right)_m^0 + O({\tau}^2 )  \approx  u_m^0 + 
{\tau}\left({\frac{{\partial}u}{{\partial}t}}\right)_m^0.  $

    Поскольку

    $ \frac{{\partial}u}{{\partial}t} -  \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = f(t , x)
    и u(0, x) = \varphi (x)  $, то

    $ \left({\frac{{\partial}u}{{\partial}t}}\right)_m^0 = 
 \left({\frac{{\partial}u}{{\partial}x}}\right)_m^0 + f(0, x) = \left[{\varphi^{\prime}_x (x)}\right]_m^0 + f_m^0.  $

    В таком случае аппроксимация задачи будет

    \begin{gather*}
\frac{{u_m^{n + 1}   -u_m^{n - 1}}}{{2{\tau}}} - \frac{{u_{m + 1}^{n}   - u_{m - 1}^{n}}}{{2h}} = f_m^{n}, n = 0, \ldots , N - 1 , m = 1 , \ldots , M - 1. \\ 
u_m^0 = \varphi_m ,  m = 0, \ldots , M , \\ 
 u_m^1 = \varphi_m +{\tau}\left[{\left({\varphi^{\prime}_x }\right)_m^0 + f_m^0 }\right] \end{gather*}

    В этом примере пришлось конструировать дополнительное второе начальное условие, поскольку исходное дифференциальное уравнение имеет первый порядок, а разностное — второй.

  2. Исследовать устойчивость разностной схемы

    \begin{gather*}
\frac{u_m^{n + 1} - u_m^n}{\tau} - \frac{u_{m + 1}^n - u_{m - 1}^n}{2h} - \frac{\tau}{2h^2} \left({u_{m - 1}^n - 2u_m^n + u_{m + 1}^n}\right) = f_m^n, \\ 
 n = 0, \ldots , N - 1 , m = 1 , \ldots , M - 1 , \end{gather*}

    аппроксимирующей задачу Коши для уравнения переноса.

    Решение. Воспользуемся спектральным признаком. Подставляем в разностную схему решение в виде: u_m^n = {\lambda}^{n} e^{im{\alpha}} и рассматриваем однородное уравнение.

    Получим

    $ \frac{{\lambda}- 1}{\tau} - \frac{e^{im{\alpha}} - e^{- im{\alpha}}}{2h} - \frac{\tau}{2h^2} \left({e^{- im {\alpha}} - 2 + e^{im {\alpha}}}\right) = 0,    $

    откуда

    $ {\lambda}({\alpha}) = 1 + i{\sigma}{\sin}{\alpha}- 2{\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{\alpha}{2},  {\sigma} = \frac{\tau}{h} \mbox{ - число Куранта.}  $

    Вычислим границы спектра. Для этого вычислим

    $ \left| {{\lambda}\left({\alpha}\right)}\right|^2 = \left({1 - 2 {\sigma}^2{\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2}}\right)^2 + {\sigma}^2{\sin}^2{\alpha},    $

    а затем расстояние 1 - \left| {\lambda}\right|^2 . Проведем необходимые вычисления:

    \begin{gather*}
\left({1 - 2 {\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2}}\right)^2 + {\sigma}^2 {\sin}^2 {\alpha} = 
1 - 4 {\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} + 4 {\sigma}^2 {\sin}^2 {\alpha} = \\ 
 = 1 + 4 {\sigma}^4 {\sin}^4 \frac{{\alpha}}{2} +  \left({- 4 {\sigma}^4 {\sin}^4 \frac{{\alpha}}{2} + {\sigma}^2 {\sin}^2 {\alpha}}\right) = \\ 
 = 1 + 4 {\sigma}^4 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} +  \left({- 4 {\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} + {\sigma}^2 4 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} \cos ^2 \frac{{\alpha}}{2}}\right) = \\ 
 = 1 + 4 {\sigma}^4 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} +  \left[{- 4 {\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} + {\sigma}^2 4 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} \left({1 - {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2}}\right)}\right] = \\ 
 = 1 + 4 {\sigma}^4 {\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} - 4 {\sigma}^2 {\sin}^2 \frac{\alpha}{2}. \end{gather*}

    Условие устойчивости выполнено, если правая часть неотрицательна, что достигается при {\sigma}\le 1.

  3. Исследовать устойчивость явной разностной схемы

    \begin{gather*}
\frac{{u_{ml}^{n + 1} - u_{ml}^{n}}}{\tau} -  \frac{{u_{m - 1 , l}^{n} - 2u_{ml}^{n} + u_{m + 1 , l}^{n}}}{{h^2}} -  \frac{{u_{m , l - 1}^{n} - 2u_{{m , l}}^{n} + 
u_{{m , l} + 1}^{n}}}{{h^2}} = 0, \\ 
 n = 0, \ldots , N - 1 ,  m = 1 , \ldots , M - 1 ,  l = 1 , \ldots , L - 1 ,  \end{gather*}

    аппроксимирующую задачу Коши для уравнения в частных производных

    $ \frac{{\partial}u}{{\partial}t} -  \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} -  \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}} = 0.  $

    Решение. Воспользуемся спектральным признаком устойчивости фон Неймана, представив разностное решение в виде

    u_{ml}^n = {\lambda}^{n} e^{i{\alpha}m + i{\beta}n}.

    После подстановки в разностное уравнение, получим

    $ {\lambda}({\alpha}, \beta ) = 1 - 4 {\sigma}{\sin}^2 \frac{{\alpha}}{2} - 4 {\sigma}{\sin}^2 \frac{\beta }{2}, \quad {\sigma} = \frac{\tau}{{h^2}},    $

    откуда следует 1 - 8 {\sigma} \le {\lambda}({\alpha}, \beta ) \le 1. Окончательно условие устойчивости разностной схемы будет {\sigma}\le 1/4.

  4. Исследовать на устойчивость разностную схему

    $ \frac{{\mathbf{u}_m^{n + 1} - \mathbf{u}_m^{n}}}{\tau} - 
{\mathbf{A}} \frac{{\mathbf{u}_{m + 1}^{n} - \mathbf{u}_m^{n}}}{h} = 0, n = 0, \ldots , N - 1 ,  m = 0, \ldots , M - 1 ,    $

    (где \mathbf{u} = (u_1 , u_2)^{T}, — вектор, \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc}
   0 & 1 \\ 
   1 & 0 \\ 
\end{array} \right), — матрица 2 x 2 ), аппроксимирующую систему уравнений в частных производных

    $ \frac{{\partial}u_1}{{\partial}t} - \frac{\partial u_2}{{\partial}x} = 0, \frac{{\partial}u_2}{{\partial}t} - \frac{{\partial}u_1}{{\partial}x} = 0; \frac{{{\partial}\mathbf{u}}}{{\partial}t} - \mathbf{A} \frac{{{\partial}\mathbf{u}}}{{\partial}x} = 0,  t > 0, - \infty  < x < \infty .  $

    Решение. Подставим в разностную схему решение в виде

    {\mathbf{u}}_m^{n} = {\lambda}^{n}\left( \begin{array}{cc}
   {u_1^0 } \\ 
   {u_2^0 } \\ 
\end{array} \right)e^{i {\alpha}m} = {\lambda}^{n}\mathbf{u}^0 e^{i {\alpha}m}.

    После подстановки в разностное уравнение, получим

    ({\lambda}- 1){\mathbf{u}}^0 - {\sigma}(e^{i {\alpha}} - 1){\mathbf{Au}}^0 = 
0, {\sigma} ={\tau}/h \mbox{ - число Куранта.}

    Это уравнение можно рассматривать как векторную запись СЛАУ относительно \mathbf{u}^0

    \left( \begin{array}{cc}
   {{\lambda}- 1} & {- {\sigma}(e^{i {\alpha}} - 1)} \\ 
   {- {\sigma}(e^{i {\alpha}} - 1)} & {{\lambda}- 1} \\ 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{l}
   {u_1^0 } \\ 
   {u_2^0 } \\ 
 \end{array} \right) = 0.

    Система имеет нетривиальное решение только тогда, когда определитель матрицы обращается в нуль, т.е.

    ({\lambda}- 1)^2 = {\sigma}^2 (e^{i {\alpha}} - 1)^2,

    откуда

    \lambda_1 = 1 - {\sigma}+ {\sigma}e^{i \alpha}, \quad \lambda_2 = 1 + {\sigma}- {\sigma}e^{i {\alpha}}.

    Эти два корня пробегают окружности радиуса \sigma с центрами в точках 1 - \sigma и 1 + \sigma. Условие устойчивости не выполнено ни при каком значении числа Куранта.

Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >