Интернет-Университет Суперкомпьютерных Технологий:

Параллельное программирование
[+]
Опубликован: 22.12.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1216 / 120 | Оценка: 4.73 / 4.45 | Длительность: 18:17:00
ISBN: 978-5-94774-546-7
Темы: Программирование, Суперкомпьютерные технологии
Специальности: Программист
Теги: beta, SPMD, spmd-технология, алгоритмы, анализ, базы данных, вычисления, головной процессор, задача синхронизации, информационный граф, исследования, критический интервал, поиск, последний элемент списка, потоки, программирование, процедуры, процессоры, радио, расширенная матрица, серверы, сложность, стек процесса, транзитивные связи, указатели, элементы
Лекция 7:

Параллельное программирование — аппарат исследования операций
A
|
версия для печати
< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >

Решение задачи 2 распараллеливания для однородных ВС

Формулировка задачи: Для данного алгоритма, которому соответствует информационный граф G, найти минимальное время T и план выполнения этого алгоритма на данной однородной ВС, содержащей n процессоров.

Теорема. Для того, чтобы T было минимальным временем выполнения алгоритма, представленного информационным графом G = (X, P, Г), на однородной ВС, состоящей из n процессоров, необходимо и достаточно, чтобы T было наименьшей из возможных длин критических путей в графах вида G'= (X, P, Г'), что получены из данного объединением вершин, соответствующих работам каждого ПМВНР, который содержит r > n работ, r - n ориентированными дугами в n путей, не содержащих общих вершин.

Информационный граф распараллеливаемой задачи

Рис. 7.22. Информационный граф распараллеливаемой задачи

Алгоритм 8 решения задачи 2 — нахождения графа-решения G'

  1. По алгоритму 5 находим оценку T = T0 минимального времени выполнения данного алгоритма на ВС, содержащей n процессоров.
  2. Опыт подсказывает, что в подавляющем большинстве случаев полученная оценка совпадает с минимальным временем выполнения алгоритма на данной ВС. Чтобы сократить объём вычислений, целесообразно с помощью алгоритма 6 решения задачи 1 установить, способны ли n процессоров выполнить данный алгоритм за время T0. Если T0 — не решение задачи 2, используем следующий метод.
  3. Полагаем \nu = \mu = 1, T_{\mu } = \infty, где \infty — заведомо большое число, например, максимально допустимое на используемой ЭВМ.

  4. Находим наименьшее значение t_{\nu } такое, что F(\tau _{11} , \dots , \tau _{1m}, t_{\nu }) = r_{\nu } > n.

    Если такого значения t_{\nu } нет на первом же шаге сглаживания плотности загрузки (при \nu = 1 ), то значение Tкр — решение задачи 2. Если такого значения больше нет при \nu > 1, то увеличиваем значение \mu на единицу и полагаем T_{\mu } = max\{ \tau _{11}, \dots , \tau _{1m}\} , т.е. длине критического пути в графе G', построенном в соответствии с условиями теоремы. Не меняя значение \nu, переходим к выполнению 6. (Если T_{\mu } =T_{0} + 1, то т.к. T0 — не решение задачи, искать значение T < T_{\mu } нецелесообразно, т.е. найденное значение T_{\mu } — решение задачи 2).

  5. Если значение t_{\nu }, обеспечивающее неравенство в пункте 4, найдено, выделяем множество работ A_{\nu } = \{ \alpha _{j\rho }\} , \rho = 1 , \dots , r_{\nu }, для которых

    \tau _{1j\rho } - t_{j\rho } \le t_{\nu } < \tau _{1j\rho }.

    Множество A_{\nu } является подмножеством некоторого ПМВНР.

  6. Введём очередную, ещё не испытанную комбинацию r_{\nu } - n связей, как указано в теореме, так, чтобы длина критического пути в полученном при этом графе G' была меньше T_{\mu }.
  7. Если такая комбинация связей существует, увеличиваем \nu на единицу, уточняем новые значения \{ \tau _{1j}\} , j = 1 , \dots , m, переходим к выполнению 4.
  8. Если такой комбинации связей не существует или все они уже перебраны и при этом \nu > 1, уменьшаем \nu на единицу и переходим к 6. Если же испытаны все комбинации связей при \nu = 1, то последнее значение T_{\mu } определяет искомое T = T_{\mu }.

Конец алгоритма.

Пример. Пусть заданы 6 задач (m = 6), заданы их частичная упорядоченность графом G, заданы времена решения (веса вершин). Требуется найти расписание выполнения этих задач на двух процессорах (n = 2) — такое, чтобы время решений этих задач было минимальным.

Найдём нижнюю оценку длины расписания T.

Первоначально полагаем T = \max \left \{ \left] \frac{1}{n}\suml_{j=1}^m t_j \right [, \,T_\text{кр} \right \} = {\max \{ 6,6 \} = 6}.

По алгоритму 6, испытывая значения функции минимальной загрузки, найдём, что \frac{\varphi^{6}(1,6)}{5} = \frac{11}{5} > 2. Произведем единственное уточнение значения T_0 = 6 + \left]\frac{1}{2}(\frac{11}{5}-2)\right [=7.

Без учета реально доступного количества процессоров составим (рис. 7.23) временную диаграмму решения всей совокупности задач — такую, при которой каждая из задач решается как можно раньше, и определим загрузку как бы неограниченного числа процессоров:

Временная диаграмма решения задач

Рис. 7.23. Временная диаграмма решения задач

  1. находим первый момент времени, при котором по этой диаграмме нам требуется более двух процессоров: при t=1 это количество F(1)=3. Выделим образующие это значение F задачи: {2, 3, 4} и составим матрицу L1 (рис. 7.24а). Первой испытываемой связью является связь 3 -> 2. Диаграмма, соответствующая этой связи, — на рис. 7.24б.

    Первый шаг распределения: а — матрица следования, б — временная диаграмма

    Рис. 7.24. Первый шаг распределения: а — матрица следования, б — временная диаграмма

    Т.к. больше нет значений функции плотности загрузки, превышающих 2, то мы предполагаем возможное решение, но продолжаем перебор связей для поиска более короткого расписания.

  2. следующей испытываемой связью по матрице L1, определяющей длину критического пути, меньшую 8, является связь 4 -> 2. Соответствующее расписание — на рис. 7.25.

    Введение новой связи: а — матрица следования, б — временная диаграмма

    Рис. 7.25. Введение новой связи: а — матрица следования, б — временная диаграмма

  3. вновь находим первый момент времени, при котором нам требуется более двух процессоров: при t = 2 это количество F(2) = 3. Выделим образующие это значение F задачи: {2, 3, 6} и составим матрицу L2 (рис. 7.26а). Первой возможной связью, не приводящей к длине критического пути, равной 8 или выше, является связь 2 -> 3. Диаграмма, соответствующая этой связи, — на рис. 7.26б.

    Введение последней связи: а — матрица следования, б — окончательный вид временной диаграммы

    Рис. 7.26. Введение последней связи: а — матрица следования, б — окончательный вид временной диаграммы

Т.к. значение функции плотности загрузки больше не превышает значение 2, то мы нашли оптимальное расписание, ибо его длина не превосходит нижней оценки — значения 7.

Задачи точного распараллеливания в настоящей лекции освещаются только для однородных систем исполнителей, когда все такие исполнители "умеют" всё и каждую работу выполняют за одинаковое время. Это предполагает применение методов для однородных вычислительных систем. Однако при более широком применении методов распараллеливания в управлении и экономике актуальна постановка этих задач для неоднородного состава исполнителей, в частности — когда исполнители обладают разной специализацией. Достаточно рассмотреть управление строительством или уборочной кампанией. Алгоритмы точного решения задач распараллеливания для неоднородных систем представлены в [3].

Дальше >>
< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0