НОУ ИНТУИТ | Основы теории вычислимых функций. Лекция 7: Вычисления с оракулом

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 531 / 43 | Оценка: 4.45 / 4.18 | Длительность: 15:50:00

Теги: beta, алгоритмы, всюду определенные функции, вычисления, вычислимость, вычислительная модель, графика, дополнение множества, одноместная функция, полугруппа, примитивная рекурсия, примитивно рекурсивная функция, процедуры, разрешимые множества, теория, универсальное множество, частично рекурсивная функция, элементы, эффективность

|

Вам нравится? Нравится 5 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Релятивизация

Пусть фиксирована некоторая всюду определенная функция $\alpha.$ Тогда вся теория вычислимых функций может быть, как говорят, " релятивизована" относительно $\alpha,$ если во всех определениях и формулировках заменить вычислимые функции на функции, вычислимые относительно $\alpha$ (которые для краткости называют также $\alpha$ - вычислимыми ). При этом все сформулированные выше результаты остаются в силе, и доказательства остаются почти такими же.

В частности, можно определить понятие перечислимого относительно $\alpha$ (или $\alpha$ - перечислимого ) множества любым из эквивалентных способов: как область определения $\alpha$ -вычислимой функции, как множество значений $\alpha$ -вычислимой функции, как проекцию $\alpha$ -разрешимого (разрешимого относительно $\alpha$ ) множества и т.д. Можно указать и более прямое описание класса $\alpha$ -перечислимых множеств.

Пусть E произвольноe множество пар вида $\langle x, t\rangle$ , где x число, а t образец. Пусть $\alpha$ некоторая всюду определенная функция. Отберем в множестве E те пары, у которых вторые члены являются частью $\alpha$ ; первые члены таких пар образуют множество, которое мы обозначим $E[\alpha ]$ .

Теорема 46. Множество X является $\alpha$ -перечислимым тогда и только тогда, когда $X=E[\alpha ]$ для некоторого перечислимого множества E. (Заметим, что в этом случае не требуется никакого специального условия типа корректности.)

Пусть X есть область определения вычислимой относительно $\alpha$ функции f. Тогда $f=M[\alpha ]$ для некоторого перечислимого корректного множества M. Оставим от всех троек в M только первый и третий члены; получится некоторое перечислимое множество E. Легко проверить, что $E[\alpha ]$ будет областью определения функции $M[\alpha ]=f$ , так что $E[\alpha ]=X$ .

Напротив, пусть $X=E[\alpha ]$ для некоторого $\alpha.$ Тогда рассмотрим множество M, которое получится, если в середину каждой пары из E добавить число 0. Ясно, что множество M будет корректным и что $M[\alpha ]$ будет функцией, определенной на $X=E[\alpha ]$ и принимающей только нулевые значения.

В обычной (нерелятивизованной) теории алгоритмов, важную роль играет теорема об универсальной функции. Она остается верной и после релятивизации:

Теорема 47. Пусть $\alpha$ всюду определенная функция. Существует вычислимая относительно $\alpha$ функция двух аргументов, являющаяся универсальной для класса вычислимых относительно $\alpha$ функций одного аргумента.

Как и в других случаях, можно почти без изменений воспроизвести доказательство соответствующей нерелятивизованной теоремы. Фиксируем какой-то язык программирования (предусматривающий на этот раз вызовы внешних процедур) и перенумеруем все программы, которые включают в себя вызовы внешней процедуры $\alpha.$ Теперь в качестве универсальной можно взять функцию

$U_{\alpha }(i,x)=(результат\ применения\ i-ой\ программы\ к\ x).$

Мы использовали нижний индекс, чтобы подчеркнуть, что функция $U_{\alpha }$ зависит от $\alpha.$ Впрочем, текст вычисляющей ее программы от $\alpha$ не зависит (хотя, естественно, содержит вызовы функции $\alpha$ ).

Поучительно привести и другое доказательство, которое опирается на определение вычислимости в терминах корректных перечислимых множеств.

Рассмотрим универсальное перечислимое множество Z четверок вида $\langle n, x,y,t\rangle$ , где n, x и y числа, а t образец. Говоря об универсальности, мы имеем в виду, что при различных n среди сечений Z_n содержатся все перечислимые множества троек.

Среди этих перечислимых множеств троек могут быть и корректные, и некорректные. Мы хотим принудительно корректировать некорректные сечения, не меняя корректных. Другими словами, мы хотим построить новое перечислимое множество Z' с такими свойствами: во-первых, все сечения Z' корректны; во-вторых, если сечение Z_n при некотором n было корректно, то оно не изменилось ( Z'_n=Z_n ).

Это делается просто: нужно перечислять Z, отбрасывая (не пропуская в Z' ) элементы, добавление которых делает некоторое сечение некорректным. Итак, мы построили перечислимое множество Z', универсальное для класса корректных перечислимых множеств.

Теперь легко указать корректное множество W, задающее универсальную $\alpha$ -вычислимую функцию. Именно, тройка $\langle \langle n,x\rangle, y, t\rangle$ (теперь ее первым членом является пара, так как универсальная функция зависит от двух аргументов) принадлежит W, если $\langle n,x,y,t\rangle\hm\in Z'$ . Легко понять, что множество W корректно. При данной функции $\alpha$ это корректное множество задает некоторую $\alpha$ -вычислимую функцию $U_{\alpha }$ двух аргументов; ее n -ое сечение есть $Z'_{n}[\alpha ]$ , где Z'_n n -ое сечение множества Z'. Поэтому среди сечений функции $U_{\alpha }$ встречаются все $\alpha$ -вычислимые функции, что и требовалось доказать.

В релятивизованной теории алгоритмов имеется, конечно, и аналог понятия главной универсальной функции: $\alpha$ -вычислимую функцию двух аргументов называют главной универсальной функцией для класса $\alpha$ -вычислимых функций одного аргумента, если она $\alpha$ -вычислима, универсальна для класса $\alpha$ -вычислимых функций одного аргумента и для всякой $\alpha$ -вычислимой функции V двух аргументов существует всюду определенная $\alpha$ -вычислимая функция s одного аргумента (" транслятор"), для которой V(n,x)=U(s(n),x) при всех n и x.

Обычное доказательство (теорема 15) показывает, что главные универсальные функции для класса $\alpha$ -вычислимых функций существуют. Более того, можно заметить, что построенная при доказательстве (см. выше) функция s будет не только $\alpha$ -вычислимой, но и просто вычислимой (в одном из вариантов доказательства функция s имела вид $x\hm\mapsto[n,x]$ , где квадратные скобки обозначают фиксированную вычислимую нумерацию пар, а n некоторое фиксированное число).

Удобно, говоря о номерах $\alpha$ -вычислимых функций, иметь в виду их номера в таких " сильно главных" нумерациях. Естественная нумерация (порядковые номера программ) является " сильно главной" нумерацией.

Говоря о релятивизованной теории алгоритмов, иногда употребляют такую метафору. Пусть A какое-то неразрешимое множество. Может оказаться, что есть такая внеземная цивилизация, которой множество A кажется разрешимым; глядя на число x, они сразу понимают, лежит ли оно в множестве A или нет, и эта проверка такое же элементарное действие в их программах, как у нас сравнение двух чисел. Тогда вся их теория алгоритмов будет автоматически релятивизованной относительно A, но они этого замечать не будут и потому прочтут наши рассуждения вплоть до этого раздела (не включая его) и согласятся со всеми теоремами. Более того, они могут прочесть и этот раздел о релятивизации но то, что для них будет B -вычислимым, для нас будет A - B -вычислимым (вычислимым с двумя оракулами A и B ).

Впрочем, к этой метафоре не стоит относиться слишком серьезно.

Дальше >>

Авторизоваться

Основы теории вычислимых функций

Вычисления с оракулом

Релятивизация

Вопросы и ответы