Графы: представления, достижимость и связность

Матрица (таблица) смежности

Определение 9.5. Матрицей смежности ориентированного (или неориентированного ) графа G=(V,E) с n вершинам и V= { v₁, ... , v_n} называется булева матрица A_G размера n x n с элементами

Это представление позволяет легко проверять наличие ребер между заданными парами вершин. Для поиска всех соседей, в которые ведут ребра из вершины v_i, необходимо просмотреть соответствующую ей i -ю строку матрицы A_G, а чтобы найти вершины, из которых ребра идут в v_i, необходимо просмотреть ее i -ый столбец. Требуемая для A_G память - по порядку n² битов - не может быть уменьшена для графов, у которых "много" ребер. Но для разреженных графов с числом ребер существенно меньшим по порядку n² в матрице смежности много "ненужных" нулей. Для таких графов более эффективными могут оказаться другие представления.

Матрица (таблица) инцидентности

Определение 9.6. Матрицей инцидентности ориентированного (или неориентированного ) графа G=(V,E) с n вершинам и V= { v₁, ... , v_n} и m ребрами E={e₁, ..., e_m} называется матрица B_G размера n x m с элементами

Таким образом, в матрице инцидентности B_G любому ребру e_j = (v_i,v_k) соответствует j -ый столбец, в котором в i -ой строке стоит 1, а в k -ой - -1. Ребра -петли выделяются числом 2. Для проверки наличия ребра между двумя вершинам и v_i и v_k требуется просмотреть i -ю и k -ую строки B_G, поиск всех соседей вершины требует просмотра соответствующей строки. Если m >> n, то это требует существенно больше времени, чем при использовании матрицы смежности. Поэтому при практическом решении задач на графах матрица инцидентности почти не используется.

Списки смежности

Определение 9.7. Пусть G=(V,E) - ориентированный граф, v - вершина из V. Список смежности L_v для вершины v включает все смежные с ней вершины, т.е.

Представление графа G=(V,E) c n вершинам и V= { v₁, ... , v_n} с помощью списков смежности состоит из списков смежности всех вершин: L_v1, L_v2, ... , L_vn.

Размер этого представления сравним с суммой числа вершин и ребер графа. Оно позволяет легко переходить по ребрам от вершины к ее соседям. В программах списки смежности представляются списковыми структурами, которые легко реализуются во всех языках программирования.

Пример 9.1. Рассмотрим следующий граф G=(V,E):

Он показан на рис. 9.2.

Построим для него определенные выше представления.

1. Матрица смежности.
   
2. Матрица инцидентности.
   
3. Списки смежности.