Булевы функции и их представления

Задачи

Задача 3.1. Какие подмножества вершин B⁴ соответствуют следующим булевым функциям:

• ;
• ;
• (здесь + - арифметическое сложение);
• или x₃x₄ = 1 .

Задача 3.2. Построить таблицы значений для следующих булевых функций:

• ;
• сумма (X₁ +X₂ + X₃) четна;
• значение X₁ совпадает со значением X₂ или со значением X₃.
• f₄(X₁,X₂,X₃) = если X₁=1 , то X₂ , иначе X₃ .

Задача 3.3. Построить таблицы для функций, задаваемых следующими формулами:

;

;

.

Задача 3.4. Назовем два набора и соседними}, если они находятся в соседних строках таблицы для функции от n переменных, т.е. представляют двоичные записи чисел и , для которых .

Найти число функций в , которые на любой паре соседних наборов принимают

• одинаковые значения;
• разные значения.

Задача 3.5. Назовем два набора и противоположными}, если для всякого i (и, следовательно, ).

Найти число функций в , которые на любой паре противоположных наборов принимают разные значения.

Задача 3.6. Пусть n =2k. Назовем набор парным,} если для любого i=1, ..., k ,т.е. для некоторого набора размера k.

Найти число функций в , которые на всех парных Наборах принимают одинаковое значение.

Задача 3.7. Администратор базы данных обнаружил, что одна или несколько из трех записей его базы A, B и C ошибочна. Он установил, что

• если запись B корректна, то A ошибочна;
• хотя бы одна запись из пары B, C корректна и хотя бы одна запись из пары A, C корректна;
• если A ошибочна, то хотя одна из записей B, C корректна (но не обе вместе).

Опишите знания администратора в виде булевой формулы. Может ли он сделать вывод, что запись B ошибочна? Можно ли достоверно утверждать, что ошибочная запись единственна?

Задача 3.8. Программист Петр использовал в своей программе три целочисленные переменные x, y и z. В определенном месте программы он поместил условный оператор:

IF (x*y >= 0)OR (x*z >= 0) THEN x=1 ELSE x=2;

Проанализировав свою программу, Петр установил, что перед выполнением этого Оператора выполнены следующие условия:

• если z < 0, то x < 0 или y >= 0 ;
• x >= 0 или y < 0 ;
• если y < 0, то хотя бы одна из переменных x, z отрицательна, но не обе вместе.

Опишите знания Петра в виде булевой формулы. Может ли он оптимизировать программу, заменив указанный условный оператор на присвоение x=1 или на присвоение x=2? Если "да", то на какое?

Задача 3.9. Комитет состоит из пяти членов. Решения принимаются большинством голосов, однако, если председатель голосует "против", то решение не принимается. Постройте формулу, зависящую от 5 переменных X₁, X₂,X₃, X₄, Y ( -ый член комитета голосует "за", председатель "за"), значение которой равно 1 тогда и только тогда, когда в результате голосования решение принимается.