Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10621 / 1831 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 12:

Элементы непрерывного математического анализа

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >

Геометрическая прогрессия сходится при |q|<1, расходится при |q|\ge 1.

Пример. Ряд 1+\frac 12+\frac {1}{3} + \dotsc + \frac{1}{n}+\dotsc - расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда и выполнено. Ряд

1+\frac {1}{1!}+\frac {1}{2!}+\frac {1}{3!}+\frac {1}{4!}+ \dotsc + \frac {1}{n!}+ \dotsc
сходится, а его сумма равна S=e. Ряд
\frac {1}{1^a} + \frac {1}{2^a} + \frac {1}{3^a} +\dotsc \frac {1}{n^a} +\dotsc
сходится при a>1 и расходится при a\le 1. Ряд
1 - \frac 12+\frac {1}{3} -\frac {1}{4} +\dotsc + (-1)^{n-1} \frac {1}{n} +\dotsc
сходится, сумма S=\ln 2. Проверьте высказанные утверждения.

Процедура выяснения сходимости или расходимости ряда путем вычисления предела хотя и является конструктивной, но очень громоздкая и неэффективная. На практике используют другие признаки - как для выяснения сходимости, так и для расходимости ряда.

Теорема(необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при n\to \infty, \lim\limits_{n\to \infty} u_n =0.

Следствие. Если условие теоремы не выполнено, то ряд расходится.

Теорема(достаточный признак сравнения). Если все члены двух рядов

\sum\limits^\infty_{n=1} u_n =u_1+u_2+\dotsc + u_n + \dotsc, \\
    \sum\limits^\infty_{n=1} v_n =v_1+v_2+\dotsc + v_n + \dotsc
положительны (ui>0, vi>0, i=1,2,...) и удовлетворяют неравенству: u_i\le v_i, i=1,2,..., то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого - расходимость второго.

На практике, в качестве одного из сравниваемых рядов берут заранее изученный (сходимость или расходимость которого уже доказана) "эталонный" ряд, например, геометрический ряд.

Теорема (признак Даламбера). Пусть все члены ряда положительны (u_n>0, n=1,2,\infty) и существует предел \lim\limits_{n\to \infty} \frac {u_{n+1}}{u_n} =\lambda. Тогда: если \lambda <1, то ряд сходится; если \lambda >1, то ряд расходится; если \lambda =1, то признак Даламбера не дает ответа и надо использовать другие признаки (например, теорему о сравнении).

Пример. Рассмотрим ряд

\sum^\infty_{n=1} u_n = \sum^\infty_{n=1} \frac {n}{(n+1)^3}.
Оценим предел Даламбера:
\sum^\infty_{n=1} \frac {u_{n+1}}{u_n} =\lim\limits_{n\to \infty}
  \Bigl[\frac {n+1}{(n+2)^3} : \frac {n}{(n+1)^3}\Bigr] =
  \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {n+1}{n+2} \Bigr)^3 \cdot
  \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {n+1}{n} \Bigr) = \\
 =\lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(\frac {1+\frac {1}{n}}{1+\frac {1}{n}}\Bigr)^3 \cdot
  \lim\limits_{n\to \infty}\Bigl(1+\frac {1}{n} \Bigr) =1.
Признак Даламбера не дает ответа (случай 3). Применим признак сравнения:
u_n = \frac {n}{(n+1)^3} < \frac {n}{n+1}\cdot \frac {1}{(n+1)^2} <
\frac {1}{(n+1)^2}
  < \frac {1}{n(n+1)} =v_n.

Эталонный ряд

\sum^\infty_{n=1} v_n = \sum^\infty_{n=1} \frac
{1}{n(n+1)}
= \frac {1}{1\cdot 2} +\frac {1}{2\cdot 3} + \dotsc + \frac
{1}{n(n+1)}
сходится. Сходится и исходный ряд.

Если члены ряда могут иметь различные знаки, то такой ряд называется знакопеременным рядом . Если знаки каждых двух последовательных членов ряда различны, то ряд называется знакочередующимся . Это ряды вида

\sum^\infty_{n=1} (-1)^n u_n = -u_1+u_2-u_3 + \dotsc + (-1)^n u_n + \dotsc,
где ui>0, i=1, 2,....

Теорема(признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u_1\ge u_2\ge \dotsc \ge u_n \ge и выполнено необходимое условие сходимости ряда: u_n\to 0 (n\to \infty), то этот ряд сходится.

Выше мы отмечали, что ряды могут быть составлены не только из чисел.

Функциональным рядом называется ряд из функций u_1 (x), u_^2(x), \dotsc, u_n(x),\dotsc т.е. u1(x)+ u2(x)+...+un(x)+....

Функциональные ряды должны иметь непустое множество определения для каждого члена ряда. Они должны иметь и непустое множество D пересечений таких множеств, где определена каждая функция-слагаемое ряда. Эта область D называется областью определения ряда .

Если x\in D, то при фиксированном значении x_0\in D получим числовой ряд: u1(x0)+u2(x0) + ... + un(x0)+.... Если этот числовой ряд сходится (расходится), то в точке x0 функциональный ряд сходится (расходится).

Для каждого функционального ряда область определения ряда D разбивается на 2 множества Dc и Dp: для каждого x\in D_c ряд сходится, а для каждого x\in D_p - ряд расходится, D=D_c\cup D_p. Множество Dc называется областью сходимости ряда, а точки из Dc - точками сходимости.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды }:

\sum^\infty_{n=0} c_nx^n = c_0 +c_1x +c_2x^2 + ... + c_nx^n + ...,
где c_n=const (n=0,1,...) называются коэффициентами ряда. Область определения степенного ряда D=(-\infty;\infty). Любой степенной ряд имеет хотя бы одну точку сходимости (x0=0, так как ряд c_0+0+0+\infty=c_0 - сходится).

Теорема(признак сходимости степенного ряда). Если степенной ряд сходится при некотором значении x=x0, x_0\ne 0, то он сходится при всех x:|x|<|x0|, причем сходится абсолютно (то есть сходится и сам исходный ряд, и ряд, составленный из модулей каждого члена исходного ряда).

Следствие. Если степенной ряд расходится при x=x0, то он расходится и при всех x: |x|>|x0|. Если степенной ряд сходится при некотором x=x0, то он сходится в интервале (-|x0|; |x0|) и если ряд расходится при x=x1, то он расходится и в интервале (-|x1|; |x1|).

Таким образом, для каждого степенного ряда есть интервал, в каждой точке которого он сходится, а вне интервала - расходится, причем на концах интервала ряд может сходиться или расходиться. Этот интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда, а число R - радиусом сходимости.

Для вычисления R используют предел

R=\lim\limits_{n\to \infty}\frac {|c_n|}{|c_{n+1}|},
при условии, что предел (конечный или бесконечный) существует, а все c_n отличны от нуля.

Пример. Ряд

\sum^\infty_{n=0} \frac {x^n}{n!} = 1+\frac {x}{1!} + \frac {x^2}{2!} +\dotsc
на числовой прямой сходится, так как
c_n=\frac {1}{n!},
c_{n+1}=\frac {1}{(n+1)!},
R= \lim\limits_{n\to \infty} \frac {|c_n|}{|c_{n+1}|} = \lim\limits_{n\to \infty} (n+1) =\infty.

Для любого x\in (-\infty;\infty) сумма степенного ряда - некоторая функция f(x):

f(x) = \sum^\infty_{n=0} c_nx^n =c_0+c_1x +c_2x^2 + \dotsc + c_nx^n + \dotsc
.

Если задана некоторая функция f(x), то разложением функции в степенной ряд называется представление f(x) в виде некоторого ряда приведенного вида. Разложение в ряд функции f(x) однозначно определяется, если однозначно найдены его коэффициенты cn (n=0,1,...). Для нахождения коэффициентов воспользуемся теоремой.

Теорема. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать (от 0 до x ) внутри интервала сходимости D=({-R};R).

Продифференцируем последнее равенство по x почленно:

f' = 1\cdot c_1 +2\cdot c_2x +3\cdot c_3x^2 + \dotsc + nc_nx^{n-1} + \dotsc, \\
f''(x) = 1\cdot 2\cdot c_2 +2\cdot 3\cdot c_3x +3\cdot 4c_4x^2 + \dotsc + n(n-1)c_nx^{n-2} + \dotsc, \\
f''' = 1\cdot 2\cdot 3 c_3 +2\cdot 3\cdot 4 c_4x + 3\cdot 4\cdot 5 c_5x^2 + \dotsc + n(n-1)(n-2) c_n x^{n-3} + \dotsc \\
{}&\hbox to40mm{\dotfill} \\
f^{(n)} & = 1\cdot 2\cdot 3 \cdot \dotsc \cdot (n-2)(n-1)nc_n +
\dotsc\,.

При x=0 из этих равенств поочередно получаем:

c_0 = f(0), \ \
  c_1= \frac {f'(0)}{1!}, \ \
  c_2= \frac {f''(0)}{2!}, \ \
  c_3= \frac {f'''(0)}{3!}, \ \ \dotsc , \ \
  c_n= \frac {f^{(n)}(0)}{n!}, \ \ \dotsc\, .

Подставляя найденные ci (i=0,1,2,...) в искомую, пока формально записанную, формулу разложения функции f(x), получим:

f(x) = f(0) +
       \frac {f'(0)}{1!}\, x +
       \frac {f''(0)}{2!}  \, x^2 +
       \frac {f'''(0)}{3!} \, x^ 3+\dotsc +
       \frac {f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n +\dotsc\, .
Это разложение функции f(x) в степенной ряд называется рядом Маклорена:
f(x) = f(0) +
       \frac {f'(0)}{1!}\, x +
       \frac {f''(0)}{2!}  \, x^2 +
       \frac {f'''(0)}{3!} \, x^ 3+\dotsc +
       \frac {f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}\, x^{n-1} +
       \frac {f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n, \\
       0<\theta <1.

Пример. Разложим в ряд Маклорена f(x)=ex. Вычислим коэффициенты

c_0=f(0)=e^0=1, \quad
  c_1=\frac {f'(0)}{1!} =\frac {e^0}{1} =1, \\
  c_2=\frac {f''(0)}{2!} =\frac {1}{2!} =1, \quad \dotsc, \quad
  c_n = \frac {1}{n!}.
Разложение
e^x = 1+\frac {x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} +\dotsc +
\frac {x^n}{n!} + \dotsc
для любого x\in (-\infty;\infty), R=\infty.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Канат Амренов
Канат Амренов
Россия