Элементы непрерывного математического анализа

Рассмотрим еще один класс обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - класс линейных уравнений в дифференциалах: , или в производных: y'(x)+p(x)y(x)=q(x), где a(x), b(x), p(x) и q(x) - некоторые непрерывные (в промежутке, где рассматривается x ) функции, в частности, могут быть и постоянными (в этом случае уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами). Это уравнение линейное относительно искомой функции и ее производной и называется линейным дифференциальным уравнением . При q(x)=0 уравнение именуется линейным однородным , при уравнение именуется линейным неоднородным .

Укажем метод решения однородного уравнения.

Пусть y(x) - его решение, то есть справедливо равенство y'(x)+p(x)y(x)=0. Обозначим через v(x) одну из первообразных функций p(x) и умножим обе части равенства на отличный от нуля множитель e^v(x). Заметив, что v'(x)=p(x), получим справедливое равенство (y(x)e^v(x))'=0. Следовательно, интегрируя это равенство, получаем (y(x)e^v(x))=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда, y(x)=Ce^-v(x). Итак, если y(x) - решение линейного однородного уравнения, то оно всегда имеет вид последней функции. Обратно, непосредственной подстановкой в уравнение этой функции можно убедиться (для этого достаточно найти первую производную и подставить ее и функцию в уравнение), что при любом значении постоянной C, функция является решением уравнения. Следовательно, y(x)=Ce^-v(x) дает множество всех решений уравнения y'(x)+p(x)y(x)=0. При начальном условии y(x₀)=y₀ из него можно выделить определенное решение конкретной задачи Коши.

Неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение y'(x)+p(x)y(x)=q(x) сводится к уже рассмотренному случаю однородного уравнения.

В случае уравнений 2-го порядка линейное дифференциальное уравнение в общем виде записывается следующим образом: y''+p(x)y'+q(x)y=f(x). Если , (где [a,b] - отрезок, на котором рассмотрим данное уравнение), то это уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

Функции y₁(x) и y₂(x) называются линейно независимыми, если равенство , справедливо тогда и только тогда, если . В противном случае (равенство справедливо лишь при или ) функции y₁, y₂ - линейно зависимы. Эти понятия аналогичны понятиям линейной зависимости и независимости векторов в R².

Теорема. Если функции y₁(x) и y₂(x) - любые линейно независимые частные решения однородного уравнения y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), то его общее решение имеет вид: y=C₁y₁+C₂y₂, где C₁, C₂ - произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение линейно неоднородного уравнения есть сумма его некоторого частного решения y₀(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим случай постоянных коэффициентов уравнения. В случае, когда коэффициенты постоянны , , p, q=const ), уравнение примет вид y''+py'+qy=0. Из первой теоремы следует, что для получения общего решения однородного уравнения достаточно найти два его линейно независимых частных решения y₁(x) и y₂(x). Будем искать частное решение в виде y=e^kx. Тогда y'=ke^kx, y''=k²e^kx, и подставляя в уравнение, получаем

Полученное квадратное уравнение называется характеристическим уравнением для линейного однородного дифференциального уравнения и может иметь два различных действительных корня k₁, k₂, или два равных корня k₁=k₂, или не иметь действительных корней.

В зависимости от этих трех случаев уравнение будет иметь частные решения определенного вида.

Рассмотрим отдельно эти случаи.

1-й случай: D=p²-4q>0, k₁, k₂ - два различных действительных корня характеристического уравнения. В этом случае функции , - частные решения рассматриваемого дифференциального уравнения (мы искали решение вида y=e^kx ). По первой теореме, общее решение уравнения в данном случае имеет вид

2-й случай: D=p²-4q=0, . Получим только одно частное решение

За второе частное решение y₂ можно принять . По первой теореме получаем общее решение уравнения в данном случае:

3-й случай: D=p²-4q<0, действительных корней нет, но есть так называемые комплексные корни: , , где - так называемая мнимая единица. В этом случае частными решениями будут функции

Используя эти два частных решения и первую теорему, получим общее решение уравнения в данном случае: .

Пример. Рассмотрим уравнение y''+5y'+6y=0. Характеристическое уравнение k²+5k+6=0 имеет корни k₁=-2, k₂=-3. Решение уравнения имеет вид: y(x)=C₁e^-2x +C₂e^-3x.

Пример. Рассмотрим уравнение: y''-2y'+5y=0. Получаем характеристическое уравнение k²-2k+5=0, , , , а, следовательно, решение имеет вид y(x)=C₁e^xsin 2x + C₂e^xcos 2x.

Рассмотрим теперь важный объект математического анализа - ряд.

Выше мы конструктивно ввели частичные конечные суммы

но формально не определили, как находить сумму бесконечного ряда.

Ряд u₁, u₂, ..., u_n, ... называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм . Число S называют суммой ряда и записывают так:

Если этот предел не существует или , то ряд называется расходящимся .

Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию (геометрический ряд)

Частичные суммы - или

Возможны варианты:

1. , .
2. , - не существует предел.
3. , т.е. , ,
   
4. q=-1, +a-a+... -(-1)ⁿ a + ... -, S_2n=0, S_2n+1=a - нет единственного предела (независимого от n ).