Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10621 / 1831 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 12:

Элементы непрерывного математического анализа

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >

Рассмотрим еще один класс обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - класс линейных уравнений в дифференциалах: \frac {dy}{dx} =a(x) y+b(x), или в производных: y'(x)+p(x)y(x)=q(x), где a(x), b(x), p(x) и q(x) - некоторые непрерывные (в промежутке, где рассматривается x ) функции, в частности, могут быть и постоянными (в этом случае уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами). Это уравнение линейное относительно искомой функции и ее производной и называется линейным дифференциальным уравнением . При q(x)=0 уравнение именуется линейным однородным , при q(x)\ne 0 уравнение именуется линейным неоднородным .

Укажем метод решения однородного уравнения.

Пусть y(x) - его решение, то есть справедливо равенство y'(x)+p(x)y(x)=0. Обозначим через v(x) одну из первообразных функций p(x) и умножим обе части равенства на отличный от нуля множитель ev(x). Заметив, что v'(x)=p(x), получим справедливое равенство (y(x)ev(x))'=0. Следовательно, интегрируя это равенство, получаем (y(x)ev(x))=C, где C - произвольная постоянная. Отсюда, y(x)=Ce-v(x). Итак, если y(x) - решение линейного однородного уравнения, то оно всегда имеет вид последней функции. Обратно, непосредственной подстановкой в уравнение этой функции можно убедиться (для этого достаточно найти первую производную и подставить ее и функцию в уравнение), что при любом значении постоянной C, функция является решением уравнения. Следовательно, y(x)=Ce-v(x) дает множество всех решений уравнения y'(x)+p(x)y(x)=0. При начальном условии y(x0)=y0 из него можно выделить определенное решение конкретной задачи Коши.

Неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение y'(x)+p(x)y(x)=q(x) сводится к уже рассмотренному случаю однородного уравнения.

В случае уравнений 2-го порядка линейное дифференциальное уравнение в общем виде записывается следующим образом: y''+p(x)y'+q(x)y=f(x). Если f(x)\equiv 0 \forall x\in [a;b], (где [a,b] - отрезок, на котором рассмотрим данное уравнение), то это уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми, если равенство \alpha _1y_1+\alpha _2y_2=0, \alpha _1, \alpha _2=\const справедливо тогда и только тогда, если \alpha _1=\alpha _2=0 . В противном случае (равенство справедливо лишь при \alpha _1\ne 0 или \alpha _2\ne 0 ) функции y1, y2 - линейно зависимы. Эти понятия аналогичны понятиям линейной зависимости и независимости векторов в R2.

Теорема. Если функции y1(x) и y2(x) - любые линейно независимые частные решения однородного уравнения y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), то его общее решение имеет вид: y=C1y1+C2y2, где C1, C2 - произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение линейно неоднородного уравнения есть сумма его некоторого частного решения y0(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим случай постоянных коэффициентов уравнения. В случае, когда коэффициенты постоянны (p(x)\equiv p, q(x)\equiv q, p, q=const ), уравнение примет вид y''+py'+qy=0. Из первой теоремы следует, что для получения общего решения однородного уравнения достаточно найти два его линейно независимых частных решения y1(x) и y2(x). Будем искать частное решение в виде y=ekx. Тогда y'=kekx, y''=k2ekx, и подставляя в уравнение, получаем

k^2e^{kx}+pke^{kx}+qe^{kx}=0 \ \implies k^2+pk+q=0.
Полученное квадратное уравнение называется характеристическим уравнением для линейного однородного дифференциального уравнения и может иметь два различных действительных корня k1, k2, или два равных корня k1=k2, или не иметь действительных корней.

В зависимости от этих трех случаев уравнение будет иметь частные решения определенного вида.

Рассмотрим отдельно эти случаи.

1-й случай: D=p2-4q>0, k1, k2 - два различных действительных корня характеристического уравнения. В этом случае функции y_1=e^{k_1x}, y_2=e^{k_2x} - частные решения рассматриваемого дифференциального уравнения (мы искали решение вида y=ekx ). По первой теореме, общее решение уравнения в данном случае имеет вид

y(x) =C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}.

2-й случай: D=p2-4q=0, k_1=k_2=k=-\frac {1}{2}. Получим только одно частное решение

y_1 = e^{kx} = e^{-\frac {1}{2}x}.
За второе частное решение y2 можно принять
y_2=xy_1=xe^{kx} =xe^{-\frac {1}{2}x}
. По первой теореме получаем общее решение уравнения в данном случае:
y(x) = C_1e^{kx} + C_2xe^{kx} = C_1e^{-\frac {1}{2}x} + C_2 xe^{-\frac
{1}{2}x}.

3-й случай: D=p2-4q<0, действительных корней нет, но есть так называемые комплексные корни: k_1=\alpha +\beta i, k_2=\alpha -\beta i, где i=\sqrt{-1} - так называемая мнимая единица. В этом случае частными решениями будут функции

y_1=e^{\alpha x}\sin\beta x,
y_2=e^{\alpha x}\cos \beta x

Используя эти два частных решения и первую теорему, получим общее решение уравнения в данном случае: y(x) =C_1e^{\alpha x} \sin\beta x +C_2e^{\alpha x}\cos\beta x.

Пример. Рассмотрим уравнение y''+5y'+6y=0. Характеристическое уравнение k2+5k+6=0 имеет корни k1=-2, k2=-3. Решение уравнения имеет вид: y(x)=C1e-2x +C2e-3x.

Пример. Рассмотрим уравнение: y''-2y'+5y=0. Получаем характеристическое уравнение k2-2k+5=0, k_{1,2}=1\pm \sqrt{1-5}=1\pm \sqrt{-4}=1\pm 2i, \alpha =1, \beta =2, а, следовательно, решение имеет вид y(x)=C1exsin 2x + C2excos 2x.

Рассмотрим теперь важный объект математического анализа - ряд.

Выше мы конструктивно ввели частичные конечные суммы

S_n = u_1+u_2+\dotsc + u_n = \sum^n_{i=1} u_i,
но формально не определили, как находить сумму бесконечного ряда.

Ряд u1, u2, ..., un, ... называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм \lim\limits_{n\to \infty} S_n . Число S называют суммой ряда и записывают так:

S= u_1+u_2+\dotsc + u_n+ \dotsc = \sum^{\infty}_{i=1} u_i.

Если этот предел не существует или S=\pm \infty, то ряд называется расходящимся .

Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию (геометрический ряд)

\sum^\infty_{n=1} aq^{n-1}.
Частичные суммы -
S_n=\sum^n_{i=1}
aq^{i-1} =a+aq+aq^2 + \dotsc\break\dotsc + aq^{n-1} = \frac
{aq^n-a}{q-1}
или
S_n = \frac {a}{1-q} - \frac {a}{1-q} q^n.

Возможны варианты:

  1. |q|<1, \displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}
\bigl(\frac {a}{1-q} - \frac
{q}{1-q}\,q^n\bigr) = \frac {a}{1-q} \displaystyle
\lim\limits_{n\to \infty} q^n=0.
  2. |q|>1, \displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}
\bigl(\frac {a}{1-q} - \frac
{q}{1-q}\,q^n\bigr) = \frac {a}{1-q} \lim\limits_{n\to \infty} q^n = \frac
{q}{1-q}-\infty - не существует предел.
  3. q=1, т.е. a+a+a+\dotsc+a+\dotsc, S_n =
n\cdot a,
    S=\pm \infty
\begin{pmatrix}
+\infty, & a>0 \cr
-\infty, & a<0 \cr
\end{pmatrix}.
  4. q=-1, +a-a+... -(-1)n a + ... -, S2n=0, S2n+1=a - нет единственного предела (независимого от n ).
< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Канат Амренов
Канат Амренов
Россия