Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10622 / 1831 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 12:

Элементы непрерывного математического анализа

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Аннотация: Рассматриваются основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории рядов.
Ключевые слова: функция, значение, неподвижной точкой, дифференциальные уравнения, дифференциальное уравнение, первообразная, определение, Дифференциальным уравнением, частная производная, уравнениями в частных производных, обыкновенными дифференциальными уравнениями, обыкновенное дифференциальное уравнение, Порядком дифференциального уравнения, Решением дифференциального уравнения, тождество, интегрированием дифференциального уравнения, бесконечное множество, разрешимость, семействе решений, общим интегралом уравнения, интегральной кривой, общий интеграл, частное решение, задачей Коши, задачей Дирихле, теорема существования, задача Коши, ПО, Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, интеграл, выражение, разделяемая переменная, равенство, класс, линейное уравнение, линейным дифференциальным уравнением, линейным однородным, линейным неоднородным, метод решения, однородное уравнение, множитель, отрезок, однородным, неоднородным, линейно независимыми, коэффициенты, характеристическим уравнением, 1-й случай, 2-й случай, 3-й случай, мнимая единица, характеристическое уравнение, объект, конечные, сходящимся, суммой ряда, расходящимся, сходимость ряда, сходимость, расходимость ряда, предел, знакопеременным рядом, знакочередующимся, Абсолютной величиной, Функциональным рядом, областью определения ряда, функциональный ряд, область определения, множества, областью сходимости, степенные ряды, интервал, интервалом сходимости, радиусом сходимости, прямой, разложением функции в степенной ряд, рядом Маклорена

Элементы непрерывного математического анализа

Пусть задана непрерывная функция f(x) на D(f)=[a;b]. Для такой функции справедливы следующие важные теоремы.

Теорема. Функция f(x) ограничена на D(f).

Теорема. Функция f(x) принимает на D(f) наибольшие и наименьшие значения (см. выше).

Теорема. Функция f(x) принимает на D(f) свое любое промежуточное значение C=f(c), то есть значение между A=f(a) и B=f(b), A<C<B.

Теорема. Если значения f(a)=A, f(b)=B - разных знаков, то уравнение f(x)=0 на D(f) имеет хотя бы один корень.

Если теперь задано отображение F:X\to Y, то точка x\in X называется неподвижной точкой отображения F, если F(x)=x .

Существует тип уравнений, решения которых есть не числа, а функции. К таким уравнениям относятся и дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения встречаются и используются в различных областях знаний.

Рассмотрим ряд задач, которые с исторической необходимостью приводят к применению дифференциальных уравнений.

Пример (нахождение первообразной заданной функции). Если функция f(x) непрерывна на [a; b], а F(x) - ее первообразная, то, как мы показали выше, F'(x)=f(x). Мы получили уравнение, дифференциальное относительно неизвестной функции F(x). Решением его является функция (см. выше)

F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t)\,dt+C.

Пример (нахождение закона радиоактивного распада). Скорость радиоактивного распада отрицательна (с течением времени масса уменьшается) и пропорциональна количеству распавшегося в данный момент вещества. Коэффициент распада - коэффициент пропорциональности \lambda. Закон распада вещества можно описать дифференциальным уравнением вида m'(t)= -\lambda m (t), где m(t) - количество не распавшегося к моменту времени t вещества.

Пример (нахождение численности популяции). Пусть x(t) - численность некоторой биологической популяции в момент времени t, k - удельная скорость прироста особей в популяции или коэффициент рождаемости. Тогда x(t) удовлетворяет (при условии, что все остальные параметры, характеристики экологической ниши идеальны) дифференциальному уравнению вида: x'(t)=kx(t).

Пример (нахождение температуры стержня в произвольной точке). Пусть u(x,t) - температура некоторого тела (стержня) в точке x в момент времени t. Тогда уравнение, описывающее температуру в любой точке и в любой момент времени, будет иметь вид: ut=uxx, где u(x,t) - температура (функция температурных значений) в любой точке x\in [0;X] в любой момент времени t\in [0;T].

Дадим теперь определение дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между искомой функцией одной переменной (нескольких переменных), ее производной или дифференциалом (частными производными или дифференциалами) и независимыми переменными.

Уравнения, содержащие производные по двум и более независимым переменным, называются уравнениями в частных производных (задача 4).

Уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называют обыкновенными дифференциальными уравнениями (задачи 1-3).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде: F(x, y, y', y'',..., y(n))=0 (это уравнение, не разрешенное относительно неизвестной функции y(x), или обыкновенное дифференциальное уравнение в неявном виде) или y(n)=f(x, y, y', y'',..., y(n-1)) (это уравнение, решенное относительно старшей производной неизвестной функции, или обыкновенное дифференциальное уравнение в явном виде).

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (производных), входящей в запись уравнения.

Пример. Все уравнения в задачах 1-3 (см. выше) - уравнения первого порядка. Уравнение в задаче 4 - второго порядка. Два последних уравнения в общем виде - уравнения n -го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение получаем тождество.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Григорий Балин
Григорий Балин
Россия, г. Обнинск
Андрей Коробейников
Андрей Коробейников
Россия, Новосибирск, Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 1999