Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10572 / 1801 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 11:

Элементы линейной алгебры

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >
Аннотация: Рассматриваются основные математические понятия алгебры матриц, определители и их свойства, проблемы собственных чисел и векторов матриц, решение систем алгебраических уравнений, линейное евклидово пространство.
Ключевые слова: вектором с числовыми координатами, последовательностью чисел, одномерным массивом, линейной таблицей, матрицей из чисел, последовательностью числовых векторов, двумерным массивом, строками, столбцами, элементом, вектор, одномерный массив, таблица, матрица, двумерный массив, размерность, квадратной, порядка, Нулевая матрица, Единичная матрица, Главная диагональ, Побочная диагональ, симметричной, матрицей-столбцом, транспонированной, место, тождество, диагональной, верхней треугольной, нижней треугольной, Определителем матрицы порядка, детерминантом, определитель, Алгебраическим дополнением, неособенной, невырожденной, особой, вырожденной, Присоединенной, союзной, транспонирование, равны, суммой, Разностью, Произведением, противоположной, операции, Произведение, определитель матрицы, Свойство 1., Свойство 2., значение, Свойство 3., множитель, Свойство 4., Свойство 5., Свойство 6., Свойство 7., Свойство 8., Свойство 9., Правило вычисления определителей., эквивалентное преобразование, вычитание, Обратной, собственный вектор, Собственное, характеристическое, число, Собственным вектором, собственное число, характеристическим уравнением, характеристическое уравнение, умножение матриц, коэффициентами системы, свободными членами, Решением системы, несовместной, определенной, разрешимой единственным образом, неопределенной, равенство, перемножение матриц, матричной записью системы уравнений, однородной, определителем системы, множества, метод Гаусса, 1-ый шаг., 2-ой шаг., n-й шаг., прямым ходом метода Гаусса, обратного хода метода Гаусса, пространство, абстрагирование, линейным пространством, арифметическим пространством, координаты, евклидовым, скалярное произведение, Свойства скалярного произведения, евклидово пространство, метрическим, метризуемым, расстояние, аксиома, аксиома треугольника, Нормой вектора, норма, длина, аксиома неотрицательности и равенства нулю, аксиома однородности, неравенство Коши-Буняковского, линейной комбинацией векторов, базисом n-мерного пространства, базисными векторами, линейная комбинация, отрезок, базис, орт, линейно-независимыми, линейно-зависимыми, эквивалентность

Элементы линейной алгебры

Упорядоченный ряд чисел называется вектором с числовыми координатами, последовательностью чисел, одномерным массивом, линейной таблицей . Таблица чисел часто называется также матрицей из чисел, последовательностью числовых векторов, двумерным массивом .

Горизонтальные ряды называются строками , вертикальные - столбцами , число aij - элементом, стоящим на пересечении i -ой строки и j -го столбца.

Пример. Ряд (вектор, одномерный массив) с именем a из элементов a1, a2,..., an, скажем, ряд 1, 4, -5, 0, 6,5. Таблица (матрица, двумерный массив) с именем B:

B= \begin{Vmatrix}
  2 & 8 & 5 \cr
  9 &121& 3 \cr
  23& 0 &10
  \end{Vmatrix}

Размерность вектора определяется количеством элементов в ряде, размерность матрицы - числом строк и столбцов (обозначают размерность как m \times n, где m - число строк, n - число столбцов матрицы).

Матрицы часто обозначают кратко одной буквой, например, матрица A, или так:

A=\|a_{ij} \|^{j=\overline{1,n}}_{i=\overline{1,m}}.

Если число строк в матрице m и число столбцов n матрицы будут равны, то она называется квадратной или матрицей порядка m(n) .

Нулевая матрица (нуль-матрица) - матрица вида

0=
 \begin{Vmatrix}
 0 & 0 & \dotsc & 0 \\
 \hdotsfor{4} \\
 0 & 0 & \dotsc & 0
 \end{Vmatrix} .

Единичная матрица (тождественная матрица)

E=
 \begin{Vmatrix}
 1 & 0 & \dotsc & 0 \\
 \hdotsfor{4} \\
 0 & 0 & \dotsc & 1
 \end{Vmatrix}.
Эту матрицу не следует путать с матрицей, у которой все элементы равны 1.

Главная диагональ матрицы - это диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы (от элемента с индексами [1, 1] ) в нижний правый угол, к элементу с индексами [n, n] . Побочная диагональ ведет из правого верхнего угла (от элемента [1, n] ) - в нижний левый угол (к элементу [n, 1] ).

Для того, чтобы найти (выделить) произвольный элемент a[i,j] матрицы, нужно указать оба его индекса i, j.

Матрица называется симметричной, если все элементы, расположены симметрично относительно главной диагонали, равны, то есть aij=aji .

Пример. Матрица

B=\begin{Vmatrix}
  2 & 4 & 23 \cr
  4 & 121 & 5 \cr
  23 & 5 & 10 \cr
  \end{Vmatrix}
является симметричной матрицей.

Пусть дана некоторая матрица A размерности m строк и n столбцов (коротко такая матрица обозначается A=(m\times n) ):

A(m\times n) =
  \begin{Vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \dotsc & a_{2n} \\
  \hdotsfor{4} \\
  a_{m1} & a_{m2} & \dotsc & a_{mn} \\
  \end{Vmatrix} = \|a_{ij} \|^{j=\overline{1,n}} _{i=\overline{1,m}}.

Если матрица B имеет только один столбец (n=1), то она называется матрицей-столбцом (вектор-столбцом):

B=
  \begin{Vmatrix}
  b_1 \\
  b_2 \\
  b_3 \\
  \dotsc \\
  b_m
  \end{Vmatrix}.

Если строки матрицы A(n\times m) превратить в столбцы, а столбцы - в строки, то получим другую матрицу A&(m\times n), которая называется транспонированной к матрице A :

A&(m\times n) =
  \begin{Vmatrix}
  a_{11} & a_{21} & \dotsc & a_{n1} \\
  a_{12} & a_{22} & \dotsc & a_{n2} \\[-3pt]
  \hdotsfor{4} \\
  a_{1m} & a_{2m} & \dotsc & a_{nm}
  \end{Vmatrix} .
При этом имеет место тождество: (A^T)^T=A.

Квадратная матрица вида

\begin{Vmatrix}
  a_{11} & 0 & \dotsc & 0 \cr
  0 & a_{11} & \dotsc & 0 \cr
  \hdotsfor{4} \cr
  0 & 0 & \dotsc & a_{nn} \cr
  \end{Vmatrix}
называется диагональной . Квадратная матрица A(n \times n) называется верхней треугольной ( нижней треугольной ), если она имеет вид
A=\begin{Vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \cr
  0      & a_{22} & \dotsc & a_{2n} \cr
  0      & 0      & \dotsc & a_{nn} \cr
  \end{Vmatrix}, \quad
  \left( A=\begin{Vmatrix}
  a_{11} &     0  & \dotsc & 0      \cr
  a_{21} & a_{22} & \dotsc & 0     \cr
  a_{n1} & a_{n2} & \dotsc & a_{nn} \cr
  \end{Vmatrix} \right) .

Определителем матрицы порядка n или детерминантом n -го порядка называется квадратная таблица из n строк (именуемых координатными) и n столбцов (именуемых векторными):

\begin{vmatrix}
   a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1j} & \dotsc & a_{1n} \cr
   a_{21} & a_{22} & \dotsc & a_{2j} & \dotsc & a_{2n} \cr
   \hdotsfor{6} \cr
   a_{i1} & a_{i2} & \dotsc & a_{ij} & \dotsc & a_{in} \cr
   \hdotsfor{6} \cr
   a_{n1} & a_{n2} & \dotsc & a_{nj} & \dotsc & a_{nn} \cr
  \end{vmatrix} .

Обозначают определитель A=|a_{ij}|^{j=\overline{1,n}} _{i=\overline{1,n}}, A= |aij|.

С каждым определителем A связано одно число, называемое значением определителя и обозначаемое как |A| или \det(A). Число A вычисляется следующим образом: берется по одному числу из каждой строки и из каждого столбца, составляются всевозможные произведения n элементов и затем из полученных n! произведений составляется алгебраическая сумма, при помощи определенным образом выбранных знаков " + " или " - " для произведений. Покажем это на примерах.

Пример. Определитель 1-го порядка A=|a11|=a11.

Определитель 2-го порядка

A=
\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \cr
  a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}.

Определитель 3-го порядка

A=
\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr
  a_{21} & a_{22} & a_{23}\cr
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = \\ = a_{11}a_{22}a_{33} +a_{13}a_{21}a_{32}+
a_{12}a_{23}a_{31}-
a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя n -го порядка называется определитель (n-1) -го порядка, получаемый вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, причем Aij берется со знаком (-1)i+j .

Квадратная матрица A называется неособенной, невырожденной, если \det(A)\ne 0 . Если же \det (A)=0, то матрица A называется особой, вырожденной .

Присоединенной ( союзной ) матрицей к матрице A(n\times n) называется матрица A^*, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов определителя транспонированной матрицы \det (A&) , то есть

A^* =
  \begin{Vmatrix}
  A_{11} & A_{21} & \dotsc & A_{n1} \cr
  A_{12} & A_{22} & \dotsc & A_{n2} \cr
  A_{1n} & A_{2n} & \dotsc & A_{nn} \cr
  \end{Vmatrix} .

Пример. Если

A= \begin{Vmatrix} 1 & 5 \cr -1 & 3 \cr
\end{Vmatrix},
то
A&= \begin{Vmatrix} 1 & -1 \cr 5 & 3 \end{Vmatrix},
A^* = \begin{Vmatrix} 3 & 5 \cr -1 & 1 \end{Vmatrix}.

Две матрицы одинаковой размерности A(m\times n), B(m\times n) равны, если совпадают все элементы с одинаковыми индексами:

A= \|a_{ij}\|, \quad B=\|b_{ij}\|, \quad A\equiv B \ \iff \
  a_{ij} = b_{ij}.

Суммой ( разностью ) матриц A(m\times n), B(m\times n) называется матрица C(m\times n) = \|a_{ij}+b_{ij}\| .

Произведением матрицы A и числа \lambda называется матрица \lambda A=\|\lambda a_{ij}\| .

Пример. Пусть

A=\begin{Vmatrix} 2 & 0 & 1 \cr 1 & 2 & 2
\end{Vmatrix},
B=\begin{Vmatrix} 0 & 5 & 4 \cr 1 & 0 & 0 \cr
\end{Vmatrix},
\lambda =2. Тогда находим сумму
A+\lambda B =
\begin{Vmatrix}
  2 & \!0 & \!1 \cr
  1 & \!2 & \!2
  \end{Vmatrix}
+ 2\cdot
\begin{Vmatrix}
  0 & \!5 & \!4 \cr
  1 & \!0 & \!0
  \end{Vmatrix}
=\begin{Vmatrix}
 2 & \!0 & \!1 \cr
 1 & \!2 & \!2
 \end{Vmatrix} +
 \begin{Vmatrix}
 0 & \!10& \!8 \cr
 2 & \!0 & \!0
 \end{Vmatrix} =
 \begin{Vmatrix}
 2 & \!10 & \!9 \cr
 3 & \!2 & \!2
 \end{Vmatrix} .

Матрица, полученная умножением числа \lambda =-1 на матрицу A, называется противоположной к A и обозначается -A. Матрица, полученная сложением матрицы A с матрицей -B, называется разностью матриц A и B .

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Оксана Тяжова
Оксана Тяжова
Россия, г. Новосибирск