Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них. |
Предельный переход и непрерывность
Для вычисления таких пределов необходимо преобразовать (раскрыть) неопределенность так, чтобы ее предел уже не давал неопределенность.
Пример.Раскроем некоторые неопределенности:
1.
2.
3.
Теорема.Если - бесконечно малая величина при , то справедливы следующие соотношения эквивалентности:
Пример. В частности, используя 7-е и 9-е соотношения, вычислим
Перейдем к функциям многих переменных, ограничиваясь двумя переменными: z=f(x,y).
Последовательность точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), ..., Mn(xn,yn), ... сходится к точке M0(x0,y0), если для каждой точки Mn расстояние ее до точки M0 стремится к нулю при : .
Пример.Рассмотрим пределы, вычисляемые непосредственной подстановкой координат предельной точки: . Наоборот, функция при не имеет предела. Действительно, если выбрать последовательность точек {Mi} = {(x1,0), (x2,0), ..., (xn,0)}, то
Если же выбрать последовательность точек {Mi} = {(0,y1), (0,y2), ..., (0,yn)}, то Так как точки Mi выбраны произвольно и предел не должен зависеть от способа выбора точки Mi и способа их стремления к точке M0(x0,y0), то предел функции в этой точке не существует.Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D(f) и областью изменения E(f). Возьмем произвольную точку и приращение аргумента - число , такое, что . Приращение функции в точке x0 будет равно (см. рис. 7.3):
Дадим некоторые определения предела функции (различающиеся своими подходами).
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если из следует, что , то есть бесконечно малым приращениям аргумента x соответствуют бесконечно малые приращения функции f(x) .
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если
Сравнивая это определение с определением предела функции f(x) при , заключаем, что можно дать эквивалентное третье определение непрерывной функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если .
Функция, непрерывная в каждой точке , называется непрерывной на всем множестве X .
Пример.Функция y=x2 непрерывна в каждой точке , поскольку и если , то .
Если функция y=f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x=x0 называется точкой разрыва функции .
Разрыв у функции может быть по двум причинам:
- Точка и поэтому f(x0), не определены, или .
- Из того, что , не следует, что .
Пример.Пусть . Точка x0=0 - точка разрыва, так как . Функция
имеет в точке x0=0 разрыв, так как при она стремится к 1, а при - стремится к 0, то есть предел в точке x0=0 не существует.Теорема Вейерштрасса.Функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке свое наибольшее (M) и наименьшее (m) значения.
Доказательства (строгого) этой теоремы мы не приводим. Ее суть очевидна геометрически: если график - непрерывная линия на отрезке, на этой линии есть хотя бы одна наиболее "высокая" и наиболее "низкая" точка.
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).
Приращением функции z=f(x,y) по переменной x называется разность вида: , а приращением по y - . Приращение ( полное приращение ) функции - это .
Непрерывное и дискретное не существуют друг без друга, переходят друг в друга, взаимно дополняют и взаимно обогащают друг друга. Дискретность невозможна без непрерывности при каких-то условиях. Непрерывность реализуется через дискретность.
Пример.Непрерывность функции определяется через дискретность - приращения аргумента и значения функции. Приращения функции невозможно рассматривать ни на одном промежутке изменения аргумента, не допустив непрерывности функции на этом промежутке.
Ниже мы рассмотрим и другие примеры непрерывного и дискретного, их взаимодействия и взаимообогащения.