Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10621 / 1831 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 6:

Уравнения и неравенства

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >

Плоскость - поверхность (бесконечная в любом направлении), в которой каждая прямая, имеющая две общие точки, целиком лежит на этой поверхности. Из школьной стереометрии известна одна из основных аксиом (стереометрии): существует хотя бы одна прямая и одна плоскость, а каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек, причем прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Пусть P - некоторая плоскость, определенная в координатном пространстве.

Нормалью к плоскости P называется ненулевой вектор, перпендикулярный к P (нулевой вектор - неинтересен, тривиален, так как он всегда перпендикулярен любому вектору - почему?). Любая плоскость в пространстве однозначно ориентирована, если задана точка M_0(x_0;y_0;z_0)\in P и какой-нибудь вектор нормали n=(A;B;C) к ней (рис. 6.6).

Вектор нормали к плоскости ориентирует плоскость

Рис. 6.6. Вектор нормали к плоскости ориентирует плоскость

Нужно найти связь между координатами текущей точки M(x; y; z) на P. Так как M\in P, то

\overrightarrow{M_0M} \perp \vec n \ \implies \ (\overrightarrow{M_0M}, \vec n) =0, \\
  \overrightarrow{M_0M} = (x-x_0; y-y_0;z-z_0), \\
  \vec n= (A;B;C).
Поэтому A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =0. Так как точка M\in P является произвольной, то этому уравнению удовлетворяют все точки на P. Следовательно, это уравнение определяет плоскость, проходящую через точку M0(x0;y0;z0) перпендикулярно к вектору нормали n=(A;B;C).

Теорема Любая плоскость в пространстве определяется уравнением вида: Ax+By+Cz+D=0. Обратно, всякое уравнение такого вида, где хотя бы один из постоянных коэффициентов A, B, C не равен нулю, задает некоторую плоскость в пространстве.

Вместо доказательства этой теоремы рассмотрим полезный (и работающий на понимание теоремы) пример.

Пример.

Возьмем возможные частные случаи этого уравнения:

  1. если D=0, Ax+By+Cz=0, то плоскость P проходит через точку O(0;0;0).
  2. если A=0, By+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Ox ( \vec n= (0;B;C)\perp Ox).
  3. если B=0, Ax+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Oy ( \vec n= (A;0;C)\perp Oy).
  4. если C=0, Ax+By+D=0, то плоскость P параллельна оси Oz ( \vec n= (A;B;0)\perp Oz).
  5. если A=D=0, By+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Ox.
  6. если B=D=0, Ax+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Oy.
  7. если C=D=0, Ax+By=0, то плоскость P проходит через ось Oz.
  8. если A=B=0, Cz+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOy.
  9. если B=C=0, Ax+D=0, то плоскость P параллельна плоскости yOz.
  10. если A=C=0, By+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOz.
  11. если A=B=D=0, Cz=0 (z=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOy.
  12. если A=C=D=0, By=0 (y=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOz.
  13. если B=C=D=0, Ax=0 (x=0), то плоскость P совпадает с плоскостью yOz.

Сделайте графические иллюстрации (рисунки) к каждому случаю самостоятельно.

Пусть заданы плоскости P1 и P2 в пространстве своими общими уравнениями P1: A1x+B1y+C1z+D1=0, P2: A2x+B2y+C2z+D2=0.

Эти плоскости будут коллинеарны (параллельны), если коллинеарны будут их нормали, и перпендикулярны (ортогональны), если будут ортогональны их нормали. Из условий коллинеарности и ортогональности векторов получаем соответствующие условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: \frac {A_1}{A_2} = \frac {B_1}{B_2} = \frac {C_1}{C_2}, A1A2 + B1B2 + C1C2 =0.

Направляющим вектором для прямой (или направляющим вектором прямой) \lambda называется любой вектор, коллинеарный данной прямой. Часто в качестве направляющего вектора берется единичный вектор (орт) данного направления.

Любая прямая \lambda определяется однозначно заданием какой-то точки M_0(x_0;y_0;z_0)\in \lambda и направляющего вектора S=(m;n;p) прямой \lambda. Найдем уравнение \lambda (рис. 6.7). Пусть точка M(x;y;z) - текущая точка. Тогда M0M =(x-x0; y-y0; z-z0). Так как вектор M0M коллинеарен вектору S, то из условия коллинеарности векторов находим

\frac {x-x_0}{m} =  \frac {y-y_0}{n} =  \frac {z-z_0}{p}.

Направляющий вектор прямой

Рис. 6.7. Направляющий вектор прямой

Это уравнение определяет \lambda и называется каноническим уравнением прямой. Пусть точки M1(x1;y1;z1), M_2(x_2;y_2;z_2)\in\lambda. Тогда за направляющий вектор можно взять M0M =(x2-x1; y2-y1; z2-z1) =S.

Из предыдущего уравнения получим (полагая M_0\equiv M_1 ) соотношение вида

\frac {x-x_1}{x_2-x_1} =
  \frac {y-y_1}{y_2-y_1} =
  \frac {z-z_1}{z_2-z_1} .

Это уравнение определяет прямую, проходящую через две точки M1, M2, и называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Пример. Если даны две точки A(1;3;2) и B(3,5,1), то в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через эти точки, можно взять вектор AB(2; 2; -1). Уравнение прямой имеет вид

\frac {x-1}2 = \frac {y-3}2 = \frac {z-2}{-1}.

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Алексей Осадчий
Алексей Осадчий
Россия, г. Железноводск
Руслан Гончар
Руслан Гончар
Россия, г. Гуково