Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10582 / 1805 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 4:

Совокупности и отношения

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >
Аннотация: Рассматриваются основные математические понятия, связанные с совокупностями, функциями, упорядоченностью, порядком, отображением и отношением.
Ключевые слова: множество, конечным, бесконечным множеством, Пустое множество, Универсальное множество, универсум, подмножество, множества, мощностью, мощность, несчетными, операции, объединение, объединение множеств, Пересечением, Дополнением, до универсального множества, Декартовым произведением, значение, однозначно, область определения, область изменения, аргументом, значением функции, функцией, функция, числовой функцией, отображение, определение, независимую, зависимую, функциональные зависимости, переменная, переменная функции, функциями нескольких переменных, путь, стоимость, функцией переменных, вектор, выражение, аналитическим способом задания функции, аналитические функции, табличном задании функции, графический способ, Абсциссой, Ординатой, Графиком, ордината, график, парабола, прямой, график функции, словесном задании, взаимно однозначное отображение, функцией, обратной, обратная функция, неявно заданной функцией, четной, нечетной, периодической, графика, монотонно возрастающей, монотонно убывающей, место, связь, сложение, вычитание, отношение, арным отношением, унарным, бинарным, тернарным, информация, квантором общности, квантором существования, композиция, Произведение, отношением тождества, рефлексивным, транзитивным, симметричным, рефлексивность, симметричность, транзитивность, Частично упорядоченным по отношению, Упорядоченное по отношению, порядком, полным порядком, отношение частичного порядка, отношение вложенности, отношением эквивалентности, классы, классы эквивалентности, изоморфизм

Совокупности и отношения

Часто, и не только в математике, рассматриваются совокупности элементов, объектов или процессов, объединенных какими-то общими признаками.

Множество - это совокупность элементов реального или идеального происхождения, различимых между собой, объединяемых по некоторому правилу и имеющих одно имя, которое позволяет ссылаться на эту совокупность как на один объект, то есть мыслится как единое целое. Принадлежность произвольного элемента x множеству X обозначается как x\in X, а непринадлежность - x\notin X.

Записывают множество X из элементов x, удовлетворяющих правилу P, в виде: X={x:P} или X={x|P}.

Если число элементов множества X конечно, то множество X называется конечным , в противном случае - бесконечным множеством и обозначаются, например, X (конечное) и Y (бесконечное), как X={x1, x2, ..., xn} или X= \{x_i\}^n_1 и Y={y1, y2, ..., yn,...} или Y=\{y_i\}^\infty_1.

Пустое множество - это множество, формально вводимое в рассмотрение, но не содержащее ни одного элемента; обозначается пустое множество символом \emptyset (это фиктивное множество играет роль нуля).

Универсальное множество ( универсум ) - это также формально вводимое множество, мыслимое как множество, содержащее все элементы всех множеств. Обозначается это множество 1 или I (оно играет роль единицы).

Подмножество множества X - это часть множества X, некоторая совокупность элементов из множества X . Подмножество множества само является множеством. Обозначают факт, что множество Y является подмножеством множества X, так: Y\subset X или Y\subseteq X, если Y может полностью совпадать с X. Полное совпадение X и Y обозначается равенством вида X=Y.

Количество элементов конечного множества X называется мощностью этого множества и обозначается |X|. Для бесконечных множеств также рассматривается аналог этого понятия. Все множества, элементы которых можно "пересчитать" натуральными числами, имеют одну мощность, которая называется мощностью счетного множества; прочие именуются несчетными множествами.

Операциями, определенными над множествами, являются операции взятия подмножества множества, сравнения на совпадение (несовпадение), объединения, пересечения, дополнения, произведения множеств.

Объединение множеств X и Y - множество Z, полученное слиянием элементов X и Y, без дублирования совпадающих (одинаковых) элементов X и Y, например, получаемого добавлением к элементам множества X элементов множества Y, отличных от элементов X . Обозначается это объединение множеств как Z=X\cup Y. Это аналог операции суммирования.

Пересечением множеств X и Y называется множество Z, получаемое выделением всех совпадающих (одинаковых) элементов X и Y в отдельное множество Z . Обозначается Z=X\cap Y и является аналогом произведения.

Дополнением ( до универсального множества ) множества X называется множество (обозначаемое как X или C(X) ), состоящее из всех элементов универсального множества 1, кроме элементов самого X . Дополнением (относительным) множества X до множества Y называется множество Z=XY (или Z=CY(X)), которое состоит из всех элементов Y, не вошедших в X.

Декартовым произведением множеств X и Y называется множество Z (обозначение X\times Y ) всевозможных пар элементов вида (x,y), x\in X, y\in Y

Пример. Если X={a,b}, Y={a,c,d}, то X\cup Y=\{a,b,c,d\}, X\cap Y=\{a\}, X\times Y=\{(a,a), (a,c), (a,d), 
(b,a), (b,c), (b,d)\}, 2^X=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}, CY(X)={c,d}, |X|=2.

Характеристическую функцию f множества X определим словесно (как и функцию Дирихле выше): если x\in X, то f(X)=1, иначе, то есть при x\notin X, значение f(X)=0.

Пусть X, Y - некоторые непустые множества точек на числовой оси, то есть X=\{x: x\inR\}, Y=\{y: y\inR\}. Если каждому элементу x\in X однозначно поставлен в соответствие некоторый элемент y\in Y, то говорят, что задана однозначная функция y=f(x) на множестве X со значениями во множестве Y . Множество X - это область определения функции, Y - область изменения функции f .Эти множества часто обозначают соответственно как D(f) и E(f). Переменная (независимая от другой переменной) x называется аргументом функции, переменная y (зависимая от x ) - значением функции (зависимой переменной),а правило, закон сопоставления каждому аргументу значения функции, - функцией. Функция - это зависимость переменной y от переменной x, если каждому значению x соответствует единственное значение y .

Определенная таким образом функция является числовой функцией , так как X и Y являются числовыми множествами, X\subset R и Y\subset R.

Иногда вместо термина "функция" используют термин "отображение" (множества X на множество Y или во множество Y ). Поэтому справедливо эквивалентное определение числовой функции: числовая функция есть отображение некоторого числового множества X (области определения функции) на другое числовое множество Y (являющееся множеством значений функции).

Обозначают отображения в общем случае в виде записи: f:X\to Y.

В функциональной зависимости y=f(x), переменная x означает независимую переменную (то есть переменную, выбор значений которой из X независим), а y - зависимую переменную (то есть переменную, выбор значения которой из множества Y зависит от выбора x и правила f ), f - закон или правило, по которому выбирается y из множества Y .

Большинство закономерностей в природе и обществе описываются различными функциональными зависимостями, в которых одна величина (зависимая переменная) зависит от двух и более величин (независимых переменных). Функция может иметь много независимых переменных (зависимая переменная - одна, а каждое ее значение, соответствующее определенному набору независимых переменных, мы будем считать определяемой однозначно). Такие функции называются функциями нескольких переменных или функциями многих переменных.

Пример. Путь, проходимый телом при движении s=s(v,t), зависит от двух переменных: скорости тела v и времени движения t. Объем продукции первого типа, выпускаемой предприятием, равен x1, второго типа - x2, n - го типа - xn. Стоимость единицы продукции первого типа - p1 руб., второго типа - p2, n -го типа - pn. Тогда стоимость всей продукции будет определяться функцией n переменных: s=s(x1,x2,..., xn) = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn.

Итак, переменная z называется функцией переменных (x1,x2,...,xn), если каждому допустимому набору значений переменных (x1,x2,...,xn), или вектору x соответствует одно и только одно значение переменной z . Обозначается функция многих переменных как z=f(x1,x2,...,xn) или z=f(x). Следовательно, каждому вектору x=(x1,x2,...,xn) по некоторому закону f ставится в соответствие некоторое определенное число z.

Область определения D(f)={x : x=(x1,x2,...,xn)} - множество векторов, для которых определена переменная z, область значений E(f)={z : z=f(x1,x2,...,xn)} или множество значений, которые принимаются функцией f, когда вектор x принимает всевозможные значения из D(f)

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Андрей Кудырский
Андрей Кудырский
Россия, Санкт-Петербург, 260, 1997
Станислав Мешавкин
Станислав Мешавкин
Россия, г. Заречный