Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 12045 / 2526 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 2:

Величины и их значения

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >

Упорядоченной переменной величиной называется некоторая переменная x, если для этой переменной известна область ее изменения и определен порядок любых двух значений (то есть известно, какое из них предыдущее, а какое - последующее). Возрастающей переменной величиной называется упорядоченная переменная величина, каждое последующее значение которой больше предыдущего. Убывающей переменной величиной называется упорядоченная переменная величина, каждое последующее значение которой меньше предыдущего. Монотонными величинами (монотонными переменными) называют возрастающие или убывающие переменные величины. Ограниченной сверху переменной величиной называется переменная x, для которой существует такая постоянная M (M=const), что каждое значение a из области изменения переменной x удовлетворяет неравенству: a \le M . Ограниченная снизу переменная величина - переменная x, для которой существует такая постоянная m ( m=const ), что каждое значение a из области изменения переменной x удовлетворяет неравенству: m \le a . Ограниченная сверху и снизу переменная x называется просто ограниченной переменной .

Пример. Пусть переменная x принимает последовательность значений: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -n, n, .... Переменная x не является ни монотонной, ни ограниченной.

Пример. Пусть переменная y принимает последовательность значений: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, .... Переменная y ограничена (например, сверху числом 1, снизу числом 0 ), монотонно убывает.

Пример. Пусть переменная z принимает последовательность значений: 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n, .... Переменная z ограничена снизу (например, числом 1 ) и монотонно возрастает.

Пример. Переменная со значениями 0,9; 0,99; 0,999; ... ограничена сверху (например, можно взять M=1, при этом само число 1 не является элементом этого ряда).

Пример. Переменная со значениями 0,1; 0,12; 0,123; ... - ограничена снизу (например, числом m=0 - не принадлежащим значениям переменной, или числом m=0,1, принадлежащим этим значениям).

Абсолютной величиной ( модулем ) переменной a называется связанная с этой переменной другая переменная (функция), принимающая только неотрицательное, действительное значение (называемое модулем значения или модулем числа) и обозначаемая |a| по следующему правилу:

$$
  |a|= \begin{cases}
   a,  & a>0, \\
   0,  & a=0, \\
   -a, & a<0.
  \end{cases}
$$
Сигнумом ( знаком ) переменной a называется связанная с этой переменной другая дискретная переменная (или функция, называемая сигнумом значения или числа a и обозначаемая sign(a), sgn(a) ), принимающая только три значения по следующему правилу:
$$
  sign (a)= \begin{cases}
   +1, & a>0, \\
   0,  & a=0, \\
   -1, & a<0.
  \end{cases}
$$

На практике почти всегда имеют дело с числами, значения которых известны лишь приближенно.

Приближенным значением числа A с ошибкой \alpha называется число a, такое, что A-a =\alpha. Записывают это так: A\approx a. Если a<A, то \alpha >0 и a - приближенное значение A с недостатком; если a>A, то \alpha <0 и a - приближенное значение A с избытком.

Абсолютной погрешностью (обозначается \Delta a ) числа A, приближенное значение которого a, называется величина \Delta a = |A-a| . Если \Delta a \le e, то e - предельная абсолютная погрешность или граница абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность не дает достаточной информации о точности измерения (измерительного прибора или метода, технологии измерения).

Результат приближения принято оценивать по той доле, которую составляет ошибка от измеряемой величины, то есть по относительной ошибке.

Относительной погрешностью (обозначается как \delta a ) числа a, являющегося приближением числа A, называется отношение абсолютной погрешности \Delta a к абсолютной величине a: \delta a=\Delta a/|a| . Относительная погрешность дает информацию о точности измерения (измерительного прибора).

Пример. Если A=\sqrt{2}=1,41, а его приближение вычислено как a=1,4, то \Delta a=|A-a|= |1,41-1,4|=0,01, \delta a=\Delta a/|a|= 0,01/1,4 \approx 0,007.

При вычислениях не только значения, но и источники погрешностей могут быть различными.

Пример. Чтобы вычислить, например, площадь круглой пластины, пользуются формулой S=\pi R^2, где R - радиус круга. Полученный при вычислении результат не совпадает с реальной площадью круга, так как:

  • реальная пластина, как правило, не имеет форму математического, идеального круга;
  • величина R получена путем измерений, а ее точность зависит от точности измерительного инструмента;
  • число \pi есть иррациональное число и при реальных вычислениях приходится заменять его приближенным рациональным значением, например, равным 3,14 ;
  • площадь S получается путем выполнения арифметических операций над исходными приближенными числами, а точность результата будет зависеть от типа операций, например, при возведении в квадрат по формуле для S при R=2,509 получим соответствующую погрешность.

Выражение "приближенное число" без указания границы погрешности e не имеет смысла. На практике оперируют с приближенными числами только при известных границах погрешностей. Однако, в разговоре употребляют выражение "приближенное число", не указывая границ, подразумевая при этом, хотя бы на интуитивном уровне, то или иное приемлемое значение погрешности (обычно разумное его значение).

Пример. Определим границу погрешности числа a=3,14, которая была использована для замены числа \pi при вычислении площади круглой пластины по вышеприведенной формуле для S. Из известного неравенства 3,14<\pi <3,15 можно записать |3,14-\pi|<0,01 и, следовательно, граница погрешности e=0,01. Если учесть, что 3,14<\pi <3,142, то в качестве границы погрешности будем иметь более точную оценку e=0,002.

Для погрешностей справедливы законы оперирования с погрешностями. Поясним это на нижеследующем примере.

Пример. Найдем сумму двух приближенных чисел и границ погрешности: a=1,28\pm 0,007 и b=3,17\pm 0,0012. Наибольшая сумма приближенных значений равна a+b=1,28+3,17=4,45.

Рассмотрим ряд часто используемых числовых функций и процедур, которые нам будут необходимы ниже.

Функция взятия целой части от вещественного числа x имеет результат, обозначаемый как [x], и называется антье-функцией .Результат функции округления вещественного числа x (обозначим его через {x} ) может быть записан как [x+0,5].

Натуральное число x называется простым, если у него нет ни одного делителя, отличного от единицы и самого себя (а эти делители есть у всякого натурального числа).Все остальные числа - непростые. Задача нахождения закона (формулы, алгоритма проверки или построения) для нахождения простых чисел - одна из древних задач математики, и она до сих пор не решена полностью, хотя получены ряд формул и теорем, гарантирующих простоту (или не простоту) заданного числа.

К некоторым числовым величинам специального вида мы вернемся ниже.

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....