Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 10572 / 1801 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 1:

Краткая история и предмет математики

< Введение  || Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Аннотация: Рассматриваются история развития и краткое изложение предмета математики, основные два ее направления (теоретическая и прикладная), а также междисциплинарная, мировоззренческая, воспитательная, культурная и эстетическая роли математики в обществе и познании.

Краткая история и предмет математики

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т.п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Истоки математики как науки и языка знаний восходят к Древнему Египту и Древнему Вавилону. Существует и другая версия историков науки, относящих появление математики (как теоретической дисциплины) к более позднему, греческому периоду ее развития - периоду начала использования доказательств геометрических теорем.

Математика в Греции развивалась достаточно быстро, логически, структурно и оформилась как особая наука с особым методом дедуктивного (от общего к частному) доказательства. Появление математики как систематической науки оказало, в свою очередь, громадное развивающее влияние на другие области знания.

Математика стала не просто лишь полезным практическим аппаратом, но и основным инструментом выявления внутренней сущности явлений и процессов, построения различных теоретических выводов, формальных оснований наук.

Это не могло не привести в древности к мистификации математики, что нашло отражение в философском учении знаменитого Пифагора и школы его последователей. Основной тезис пифагореизма - "все есть число", то есть всюду есть и могут быть обнаружены количественные связи, а всякая закономерность может быть выражена и объяснима математическими соотношениями.

Наряду с пифагорейской философией, существовала и атомистическая философия (философская школа Демокрита). В атомистическом подходе математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атому - первооснове. Физическое начало логически предшествует математическому и определяет свойства последнего. Математическое, в свою очередь, развивает физическое, естественнонаучное, позволяет открывать и исследовать новые связи и отношения в окружающем мире.

В эпоху Средневековья математика развивалась, в основном, в русле пифагореизма. Несмотря на многие заблуждения и неточности, эта эпоха дала миру многих замечательных математиков и ряд важных теорем и положений математики, заложила элементарные теоретические основы всего естествознания.

В XIV-XV вв. в Европе начался творческий процесс развития математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии, длившийся около двух столетий. Математика стала рассматриваться не как абсолютное, первичное знание, а как знание эмпирическое, вторичное, зависящее от внешних реалий. В это время развивались основные идеи дифференциального и интегрального исчисления, сформировались основные понятия высшей математики - бесконечно малое приращение, последовательность, предел, производная, дифференциал и др. (Заметим, что мы нигде далее не будем употреблять словосочетание "высшая математика", считая математику единой для тех, кто ее изучает, различая лишь этапы изучения математики - школьный или вузовский).

Необходимость вычисления площадей сложных фигур, ограниченных произвольными кривыми, развивала методы дифференциального и интегрального исчисления, расширяла перечень решаемых задач и повышала сложность решаемых задач, сформировала логически стройную и достаточно полную систему математических понятий.

В XVI-XVII вв. появились новые математические теории, такие, как, например, теория вероятностей, комбинаторика, которые затем в XVIII веке стали эффективно использоваться в различных областях науки и практики. В математике с XVII в. широко начинает применяться метод доказательства общих положений и выводов на основе частных положений и выводов, называемый методом математической индукции. Некоторые историки математики считают правильным отсчитывать историю математики именно с этого периода.

Развивалась и геометрия, которая выходила в своих исследованиях за узкие пределы практических нужд (измерения длины, площади, объема и т.д.).

Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского (опираясь, в основном, на логическое мышление, на логические системы и логические выводы из них) показала, что расширение предмета математики важно не только для внутреннего развития самой математики и пересмотра устойчивых математических представлений, но и для выяснения роли математики как языка знаний. Неевклидовы геометрии продемонстрировали, что геометрия Евклида - не единственный способ восприятия чувственных образов в мире. Истинность геометрии Лобачевского находит косвенные подтверждения в астрономии, физике. Известный геометр Ф.Клейн доказал, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида.

Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся формальный язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально-логического описания действительности, - то есть сформировался формальный, научный язык всех отраслей знания, в первую очередь, естественнонаучных. Этот язык успешно используется в настоящее время и в других, "не естественнонаучных" областях.

Язык математики - это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания).

Математическое описание фактов, законов природы, общества и познания позволяет нам по-новому взглянуть на их взаимосвязи, обнаружить новые связи. Зачастую эти связи невозможно обнаружить без математики, на опыте, в реальном мире.

"Математики - своего рода французы: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто иное" (И.В.Гете).

Современная теоретическая (" чистая ") математика это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Понятие структуры мы пока будем определять (нестрого) как некоторую заданную совокупность связанных между собой элементов, в которой имеется некоторый порядок, некоторая стройность и взаимосвязь составных частей. Более полное и строгое понятие структуры изложено в нашем курсе "Введение в анализ, синтез и моделирование систем" ( http://www.intuit.ru).

"Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование" (А.Пуанкаре).

Современная прикладная (" не чистая ") математика - это наука, занимающаяся поиском, математическим описанием и исследованием различной природы инвариантов и их приложений.

Таким образом, это две ветви одной и той же науки, и одна из них не может развиваться без другой. Отнесение одной и той же задачи к чистой или к прикладной математике зависит, в основном, от цели и доступных ресурсов ее исследования.

Предмет науки обычно понимают как совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею.

Строго говоря, математика непосредственно не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история и др. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их.

Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах, а эти знания затем используют все другие науки.

Служение наукам не является единственной функцией математики, ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции.

Специфика математического метода изучения действительности определяет и особенность критерия истины в математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь только на практике, как во многих других науках.

Простой факт отсутствия общих точек у двух параллельных прямых 
нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на 
этих прямых. Более сложный пример - так называемая функция 
Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для 
иррациональных чисел - 0. Нельзя построить график этой простой 
по определению функции.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность и эффективность математического аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как критерий адекватности теории не всегда применима.

В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции 
космических систем, которые нельзя проверить на практике, но 
можно описать проверенными математическими моделями других теорий 
- скажем, ядерной физики.
< Введение  || Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

Оксана Тяжова
Оксана Тяжова
Россия, г. Новосибирск