Спонсор: Intel
Санкт-Петербургский государственный университет
Опубликован: 14.07.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 462 / 172 | Длительность: 06:03:00
Специальности: Программист
Лекция 3:

Математические принципы реализации автоматического управления

5.1.3. Элементы теории автоматического управления

Важной и интересной методической задачей является "переброска мостика" между областями знаний специалиста и обучающегося, помогающая студентам увидеть практическую применимость своих профессиональных знаний. Для достижения подобного эффекта были разработаны приемы расчета регуляторов, использующие математический аппарат, не выходящий за рамки базовых программ по математике и физике. В частности, вместо дифференциальных уравнений были использованы разностные, хорошо соответствующие дискретному характеру взаимодействия объекта и регулятора при компьютерном управлении.

Рассмотрим, например, задачу построения пропорциональных (П) и пропорционально-дифференциальных (ПД) регуляторов в задаче управления движением мобильного робота вдоль стены. Обозначим через x_{t} расстояние робота от стены, через \theta_{t} - курсовой угол робота, а через u_{t} - управляющее воздействие в момент с порядковым номером t, соответственно, где t = 0, 1,2, ... - номера моментов измерений. Считается, что опрос датчиков и изменения величины управляющего воздействия производится через равные промежутки времени h. Для задач управления реальными устройствами естественно считать, что управляющим воздействием является разность угловых скоростей вращения колес, пропорциональная скорости изменения курсового угла:

\theta_{t+1}=\theta_{t}+u_{t}hr/b, ( 1)

где r - радиус колес, b - база транспортного средства (расстояние между колесами). Легко также видеть, что расстояние робота от стены за время ht изменится на величину h\,sin\,\theta_{t},, т.е. имеет место соотношение

x_{t+1}=x_{t}+v_{t}\,h\,sin\,\theta_{t}. ( 2)

Считая отклонения курса от номинального \theta_{t}=0малыми, а среднюю скорость робота постоянной: v_{t}=v, динамику изменения переменных состояния робота в первом приближении можно описать линейными уравнениями состояния:

x_{t+1}=x_{t}+v_{t}h\theta_{t},\,\,\,\,\theta_{t+1}=\theta_{t}+u_{t}hr/b ( 3)

Исключая переменную \theta_{t}, приходим к разностному уравнению 2-го порядка, непосредственно связывающему управляющую и регулируемую переменные:

x_{t+2}-2\,x_{t+1}+x_{t}=gu_{t}, ( 4)

где g=h^2vr/b.

Зададим желаемое расстояние до стены x^*>0 и определим цель управления (ЦУ) соотношением

x_{t}\rightarrow x^*\,\,при\,\, t\rightarrow\infty ( 5)

Теперь естественным образом вводится на содержательном уровне понятие асимптотической устойчивости, как свойства решений системы (4), обеспечивающего достижение ЦУ (5) при любых начальных условиях, достаточно мало отличающихся от целевых. Легко видеть, что при u_{t}=0 решением уравнения (4) является любое постоянное значение x_{t}=x^*. Но поскольку уравнение (4), соответствующее модели двойного интегратора (двойного сумматора), не обладает свойством асимптотической устойчивости, ЦУ (5) при постоянном управлении не достигается. Это легко демонстрируется как аналитически - суммированием ряда натуральных чисел, так и экспериментально, выставляя устройство в различные начальные положения.

После такой демонстрации понятия регулятора и обратной связи по результатам измерений вводятся весьма естественно и легко осваиваются школьниками. Сначала рассматривается простейший пропорциональный регулятор (П-регулятор)

u,\,=K_{0}(x^*-x_{t}), ( 6)

где K_{0} - коэффициент усиления регулятора. Подстановкой (6) в (4) получаем уравнение замкнутой системы

x_{t+2}-2\,x_{t+1}+(1+gK_{0})x_{t}=gK_{0}x^*, ( 7)

Переходя к уравнениям для отклонений y_{t}=x^*-x_{t}, получим однородное уравнение

y_{t+2}-2\,y_{t+1}+(1+gK_{0})y_{t}=0. ( 7a)

Возникающий вопрос об устойчивости системы (7) теперь можно решить в случае общей однородной системы 2-го порядка

x_{t+2}+a_{1}x_{t+1}+a_{0}x_{t}=0, ( 8)

записав ее общее решение в виде суммы двух геометрических прогрессий со знаменателями \lambda_{1} и \lambda_{2} (возможно, комплексными) равными корням квадратного трехчлена \lambda_{2}+a_{1}\lambda_{1}+a_{0}. Условием асимптотической устойчивости оказывается пара неравенств \left| \lambda_{1}\right| < l,\,\,\left| \lambda_{2}\right| <1 означающая, что обе геометрические прогрессии являются бесконечно убывающими. Теперь стандартное условие устойчивости в терминах коэффициентов

a_{0} <1,\,\,1+a_{0}>\left| a_{1}\right| ( 9)

школьники могут вывести самостоятельно.

Применяя правило (9) к уравнению системы с П-регулятором (7), убеждаемся в том, что неравенства (9) несовместны, т.е. что не существует числа K_{0}, делающего систему (7) асимптотически устойчивой. Таким образом, П-регулятор оказывается неработоспособным, и для решения задачи поиски нужно продолжить.

Следующим этапом является построение ПД-регулятора, который можно описать соотношением

u_{t} = K_{0}(x^*-x_{0}+K_{1}(x_{t+1}-x_{t}), ( 10)

где K_{1} - коэффициент усиления по разности (дифференциальный). Поскольку в момент времени t измерить хt+1 невозможно, для реализации регулятора (10) можно воспользоваться соотношением

x_{t+1}-x_{t}=vh\theta_{t}=vh\theta_{t-1}+u_{t-1}\,vh^2r/b

Подставляя в (10), получим ПД-закон управления в виде

u_{t}=\left[K_{0}(x^*-x_{t})+K_{1}\,vh(\theta_{t-1}+u_{t-1}hr/b)\right], ( 11)

т.е. для применения (11) требуется помнить значения курсового угла и управления на предыдущем шаге. Для исследования устойчивости и выбора коэффициентов ПД-регулятора подставим (10) в (4). Получим уравнение замкнутой системы:

x_{t+2}-(2+gK_{1})x_{t+1}+(1+gK_{0}+gK_{1})x_{t}=gK_{0}x^*. ( 12)

Проверяя его на устойчивость с помощью критерия (9), убеждаемся в том, что достаточными условиями устойчивости служат неравенства

K_{0}> 0,\,K_{0}+K_{1} <0. ( 13)

Таким образом, для построения работоспособного регулятора следует выбирать дифференциальный коэффициент, превосходящий пропорциональный по абсолютной величине и противоположный по знаку. В справедливости этого правила также следует убедиться в экспериментах.

Предложенные методики исследования и реализации мобильных движущихся устройств на основе элементарной теории управления можно использовать как базис для построения систему управления.

5.2. Выводы

Целью этой лекции было познакомить читателей с понятием системы реального времени и инструментами для разработки программ под эти системы.

Андрей Леонов
Андрей Леонов
Россия
Дмитрий Сирош
Дмитрий Сирош
Украина, Черкассы