НОУ ИНТУИТ | Основы информатики и программирования. Лекция 6: Спецификация программ и преобразователь предикатов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный индустриальный университет

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3332 / 380 | Оценка: 4.17 / 3.79 | Длительность: 24:17:00

Темы: Программирование, Образование

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Вычисление слабейшего предусловия

Покажем на ряде примеров, как решаются задачи на вычисление слабейшего предусловия.

Задача 6.9. Вычислите и упростите wp("i=i+2; j=j-2;", i+j=0) .

Решение. Для вычисления воспользуемся определениями слабейшего предусловия для последовательного выполнения операторов и оператора присваивания. Так как в данном случае все выражения заведомо являются определенными, то истинный предикат domain(e) будет опущен изначально.

wp("i=i+2; j=j-2;", i+j=0) = wp("i=i+2;", wp("j=j-2;",
i+j=0)) =
wp("i=i+2;", i+j-2=0) = (i+2+j-2=0) = (i=-j) .

Задача 6.10. Вычислите и упростите $wp("x=(x+y)*(x-y);", x+y^2 \ne 0)$ .

Решение. $wp("x=(x+y)*(x-y);", x+y^2 \ne 0) = ( x^2 -y^2 + y^2 \ne 0 ) = (x^2 \ne 0) = (x\ne0)$ .

Задача 6.11. Вычислите и упростите $wp("x=a/b;", x^2 \geqslant 0)$ .

Решение. В данном случае ответ является ошибочным, так как $wp("x=a/b;", x^2 \geqslant 0) = (domain(a/b) \lands {(a/b)}^2 \geqslant 0) = (b\ne 0)$ .

Задача 6.12. Вычислите и упростите $wp("i=1; s=b[0];", 1 \leqslant i < n \ \land \ s = b[0]+\ldots+b[i-1] )$ .

Решение.

$wp("i=1; s=b[0];", 1 \leqslant i < n \ \land \ s = b[0]+\ldots+b[i-1] ) =\\ wp("i=1;", wp("s=b[0];", 1 \leqslant i < n \ \land \ s = b[0]+\ldots+b[i-1])) = wp("i=1;", 1 \leqslant i < n \ \land \ b[0] = b[0]+\ldots+b[i-1]) = \\ ( 1 \leqslant 1 < n \land (b[0] = b[0])) = (1<n \land (b[0] = b[0])) = (n>1).$

Задача 6.13. Вычислите и упростите wp("if(true);", R) для произвольного предиката .

Решение.

$wp(\Cmd{if(true);}, R) = wp(\Cmd{if(true); else ;}, R) = \\ ((T \Rightarrow wp(\Cmd{;}, R)) \land (F \Rightarrow wp(\Cmd{;}, R))) = ((F \lor R) \land (T \lor R)) = (R \land T) = R$

Рассмотрим в заключение задачу на решение уравнения, связанного со слабейшим предусловием.

Задача 6.14. Найдите такое значение выражения , включающее другие переменные, для которого спецификация $\{Q\} \; S \; \{R\}$ становится тавтологией: $\{T\} \; "a=a+1; b=x;" \; \{b=a+1\}$ .

Решение. Вспомним, что имеет место эквивалентность $\{Q\}\; S\; \{R\} = (Q \Rightarrow wp(S,R))$ . Таким образом, нам необходимо подобрать такое , для которого $(T \Rightarrow wp("a=a+1; b=x;", b=a+1)) = T$ . Вычислим сначала слабейшее предусловие, входящее в этот предикат:

$wp(\Cmd{a=a+1; b=x;},b=a+1) = wp(\Cmd{a=a+1;}, wp(\Cmd{b=x;}, b=a+1)) = \\ wp(\Cmd{a=a+1;}, x=a+1) = (x = a+2).$

Легко убедиться, однако, что мы получили неверный результат! И все дело в том, что переменная зависит от . Проведем вычисления повторно, заменив на x(a) : wp("a=a+1; b=x(a);",
b=a+1) =
wp("a=a+1;", wp("b=x(a);", b=a+1)) = wp("a=a+1;", x(a)=a+1) =
(x(a+1) = a+2) .

Вернемся к исходной задаче. Нам нужно выяснить, при каких значениях выражение $(T \Rightarrow (x(a+1) = a+2)) = T$ окажется тавтологией. Упростим данное выражение:

$((T \Rightarrow (x(a+1)= a+2)) = T) = (T \Rightarrow (x(a+1) = a+2)) = \\ (F \lor (x(a+1) = a+2)) = (x(a+1)=a+2)$

Теперь ответ очевиден: x(a)=a+1 или просто x=a+1 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.15. Запишите предикат, утверждающий, что самое большее одно из следующих утверждений истинно: a<b , b<c .

Задача 6.16. Запишите предикат, утверждающий, что следующие утверждения не являются истинными одновременно: a<b , b<c и x=y .

Задача 6.17. Запишите предикат, утверждающий следующее: когда x<y , y<z означает, что v=w , но если $x\geqslant y$ , то y<z не может выполняться; однако если v=w , то x<y .

Задача 6.18. Запишите предикат, утверждающий, что для массива b[0..n-1] длины n>0 все нули массива находятся в вырезке b[j..k] .

Задача 6.19. Запишите предикат, утверждающий, что для массива b[0..n-1] длины n>0 некоторые нули массива находятся в вырезке b[j..k] .

Задача 6.20. Запишите предикат, утверждающий, что для массива b[0..n-1] длины n>0 справедливо высказывание: неверно, что все нули массива находятся в вырезке b[j..k] .

Задача 6.21. Запишите предикат, утверждающий, что для массива b[0..n-1] длины n>0 справедливо высказывание: неверно, что не все нули массива находятся в вырезке b[j..k] .

Задача 6.22. Запишите предикат, который утверждает, что функция $f\colon \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5\}$ является инъективной и отрицание этого факта. Упростите получившиеся предикаты, если это возможно.

Задача 6.23. Запишите предикат, который утверждает, что функция $f\colon \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5\}$ является биективной и отрицание этого факта. Упростите получившиеся предикаты, если это возможно.

Задача 6.24. Запишите предикат, который утверждает, что функция $f\colon \{1, 2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5\}$ все существует единственный элемент $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , который функция уменьшает, и отрицание этого факта. Не используйте при этом квантора $\exists$ !.

Задача 6.25. Основываясь на определении 6.4 и спецификации программы 6.1, докажите истинность эквивалентности $\{Q\}\; S\; \{R\} = (Q \Rightarrow wp(S,R))$ .

Задача 6.26. Основываясь на определении 6.4, докажите закон монотонности $(Q \Rightarrow R) \Rightarrow (wp(S,Q) \Rightarrow wp(S,R))$ .

Задача 6.27. Основываясь на определении 6.4, докажите закон дистрибутивности дизъюнкции $wp(S,Q) \lor wp(S,R) = wp(S, Q \lor R)$ .

Задача 6.28. Вычислите и упростите $wp("i=i+1; j=j-1;", i\cdot j=0)$ .

Задача 6.29. Вычислите и упростите wp("x=x+y;", x < 2y) .

Задача 6.30. Вычислите и упростите wp("i=i+1; j=j+1;", i=j) .

Задача 6.31. Вычислите и упростите $wp("a=0; n=1;", a^2 < n \ \land \ (a + 1)^2 \geqslant n)$ .

Задача 6.32. Вычислите и упростите $wp("s=s+b[i]; i=i+1;", 0<i<n\ \land\ s=b[0]+\ldots+b[i-1])$ .

Задача 6.33. Вычислите и упростите следующее слабейшее предусловие $wp("if (a > b) a=a-b; else b=b-a;",a>0 \ \land \ b > 0)$ .

Задача 6.34. Найдите такое значение выражения , включающее другие переменные, для которого спецификация $\{Q\} \; S \; \{R\}$ становится тавтологией: $\{T\} \; "b=x; a=a+1;" \; \{b=a+1\}$ .

Задача 6.35. Найдите такое значение выражения , включающее другие переменные, для которого спецификация $\{Q\} \; S \; \{R\}$ становится тавтологией: $\{i=j\} \; "i=i+1; j=x;" \; \{i=j\}$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Основы информатики и программирования

Спецификация программ и преобразователь предикатов

Вычисление слабейшего предусловия

Задачи для самостоятельного решения

Вопросы и ответы