Авторы: Николай Верещагин, Александр Шень | Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Специалист
Длительность:
14:25:00
Студентов:
1501
Выпускников:
154
Качество курса:
4.60 | 3.50
Курс посвящен основным понятиям "наивной теории множеств" (мощности, упорядоченным множествам, трансфинитной индукции, ординалам).
Включает большое количество задач различной сложности.
Специальности: Программист, Математик
 

План занятий

Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Лекция 1
47 минут
Множества
Вводная лекция знакомит читателя с основными понятиями и обозначениями, связанными со множествами. Описываются такие операции, как пересечение, объединение, разность, симметрическая разность. Определяется ряд дополнительных понятий, таких как мощность множества, равномощные множества, без которых невозможно дальнейшее изучение курса. Доказывается формула включений и исключений. Для лекции характерно большое количество примеров, задач для самостоятельного решения
-
Тест 1
21 минута
-
Лекция 2
31 минута
Счетные множества
Вводится понятие счетного множества, определяется несколько теорем с подробным доказательством. Что интересно, есть несколько замечаний к теоремам, которые решают тонкие вопросы, связанные с доказательством. Даются примеры счетных множеств для более глубокого понимания сути данной лекции. Некоторое количество задач для самостоятельного изучения. Также имеется небольшая историческая справка насчет теоремы: "Квадрат (с внутренностью) равномощен отрезку"
-
Тест 2
21 минута
-
Лекция 3
40 минут
Теорема Кантора - Бернштейна
Краткая историческая справка по данной теореме, называемой также теоремой Шредера- Бернштейна. Данная теорема определяет условие, при котором множества A и B – равномощны. Подробное исследование текущего вопроса с полным доказательством, различными рисунками для более наглядного представления. Исходя из теоремы Кантора – Бернштейна рассматривается вопрос о сравнении мощностей. Небольшое количество задач
-
Лекция 4
25 минут
Теорема Кантора
Теорема Кантора – одна из основополагающих задач теории множеств. Рассматривается доказательство теоремы с подробным объяснением каждого шага. Рассматривается сложный вопрос о том, являются ли множества своими элементами. Дается некоторая историческая информация, связанная с доказательством данной теоремы и других утверждений. Как всегда, немного задач для самостоятельного решения
-
Лекция 5
36 минут
Функции
Определяются такие понятия, как декартово произведение множеств A и B, отношение между ними, бинарное отношение на множестве A. Определяются понятия функции из A в B, область определения функции. Вводятся понятия композиции двух функций, инъекции, биекции. Большое количество самостоятельных заданий. Много определений и полных объяснений различных математических расчетов
-
Лекция 6
32 минуты
Операции над мощностями
Для мощностей характерно большое количество операций, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность и др. В лекции описываются все эти операции с некоторыми доказательствами их справедливости. Также определяются свойства счетных множеств. Различные примеры, решение вопроса о разбиении множества на непересекающиеся части. Рассматриваются также важные моменты, изучение которых избавит от непредвиденных трудностей в последствии
-
Тест 6
21 минута
-
Лекция 7
1 час 6 минут
Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы
Описывается много новых понятий, таких как отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, изоморфные частичные множества. Доказываются несколько теорем по данной теме с подробными объяснениями, графиками и примерами. Задается большое количество примеров частичных порядков. Описываются несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других. Для лекции характерно множество задач для самостоятельного решения
-
Лекция 8
40 минут
Фундированные и вполне упорядоченные множества
Рассматриваются фундированные множества, вполне упорядоченные множества. Отмечаются несколько простых свойств начальных отрезков. Некоторые замечания по ходу объяснения материала заставляют читателя более внимательно относиться к материалу лекции и теории в целом. Доказывается несколько теорем с подробными объяснениями и математическими преобразованиями. Решается несколько интересных задач, связанных так или иначе с лекцией. Лекция достаточно интересная, в какой то мере сложная для обучения
-
Лекция 9
43 минуты
Трансфинитная индукция
Для лекции характерно много теорем для лучшего понимания материала. Большое количество доказательств различных утверждений. Несколько задач для самопроверки. В целом, лекция достаточно сложная для изучения
-
Лекция 10
47 минут
Теорема Цермело
Данная лекция посвящена основополагающей теореме теории множеств – теореме Цермело. Также дается описание и доказательство нескольких аксиом, дополнительных предположений для доказательства нескольких теорем. Значительная часть лекции посвящена трансфинитной индукции и базису Гамеля. В этом разделе также определяется ряд теорем с полным доказательством, даются примеры и задания для самостоятельного решения
-
Лекция 11
50 минут
Лемма Цорна и свойства операций
Лемма Цорна редко встречается в современных изданиях по теории множеств, но в этом курсе сделано исключение. Большая часть лекции посвящена именно лемме Цорна, обширному доказательству данного утверждения и огромному количеству примеров. Вторая часть лекции определяет свойства операций над мощностями. Несколько теорем полностью описывают данный вопрос, а дополнительные задачи помогают лучше разобраться в материале лекции
-
Лекция 12
47 минут
Ординалы
Ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. В лекции подробно описываются свойства ординалов. Проводятся различные рассуждения о применении ординалов. Арифметика ординалов обладает своими свойствами и отличиями, которые определяются и рассматриваются в лекции. Некоторая часть лекции посвящена свойствам умножения ординалов. Большое количество задач для самостоятельного решения
-
Тест 12
21 минута
-
Лекция 13
45 минут
Индуктивные определения и степени
Определяется ряд теорем с подробными доказательствами, которые полностью описывают операции сложения и умножения ординалов. Есть некоторые замечания по ходу объяснения лекции, на которые следует обратить внимание. Как обычно, множество задач для самостоятельного решения. Также приведены несколько теорем для создания более полного представления о материале лекции
-
Лекция 14
52 минуты
Приложения ординалов
Заключительная лекция курса "Введение в теорию множеств". Рассматриваются некоторые утверждения с доказательствами, такие как: существует множество точек на плоскости, которое пересекается с каждой прямой ровно в двух точках, всякий счетный ординал является рангом некоторого дерева, семейство всех борелевских множеств имеет мощность континуума и др. В лекции подробно описываются многие вопросы. О теории множеств можно говорить сколь угодно много и проводить обширные рассуждения на счет справедливости тех или иных утверждений, но основные понятия, основные теоремы и определения очень хорошо описываются в данном курсе
-
1 час 40 минут
-
Kirill Annenkov
Kirill Annenkov
Украина
Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод