Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2634 / 494 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Пути и циклы в графах

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Аннотация: Рассматриваются взвешенные пути и маршруты в графах. Дается понятие веса и длины пути. Приводятся сведения о орциклах и циклах и их особенностях. Цель лекции: Дать представление о путях и циклах в графах и весе и длине пути.

Пути и маршруты

Путем в орграфе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, кроме последней, является начальной вершиной следующей дуги.

Например, для графа на рис. 8.1 последовательности дуг

M1: a6, a5, a9, a8, a4 ,

M2: a1, a6, a5, a9, a7 ,

M3: a1, a6, a5, a9, a10, a6, a4

являются путями. Пути могут быть различными.

Орграф

Рис. 8.1. Орграф

Орцепью (или простым путем) называется такой путь, в котором каждая дуга используется не более одного раза.

Так пути M1 и M2 являются орцепями, а M3 нет, поскольку дуга a6 используется дважды.

Простой орцепью (или элементарным путем) называется путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза.

Простой орцепью является путь M2 .

Для неориентированного графа понятия маршрута, цепи и простой цепи аналогичны понятиям пути, орцепи и простой орцепи в орграфе. (В определениях следует заменить слово "дуга" на слово "ребро").

Путь или маршрут можно изображать также последовательностью вершин. Так путь M1 можно представить последователь-ностью вершин х2, х5, х4, х3, х5, х6 , и такое представление часто оказывается более полезным.

Вес и длина пути

Иногда дугам графа сопоставляют числа ai -> сi , называемые весом или длиной, или стоимостью или ценой. В каждом конкретном случае выбирается то слово, которое ближе подходит по смыслу задачи.

Граф G, описываемый тройкой вида

G = (X, A, С),

где Х = { хi }, i =1, 2, 3, ..., n множество вершин,

А = { ai }, i = 1, 2, 3, ..., m – множество дуг,

С = {Ci}, i = 1, 2, 3, ..., m – множество характеристик дуг, называется графом со взвешенными дугами.

Пример такого графа приведен на рис. 8.2,а. При рассмотрении пути M, представленного последовательностью дуг (a1, a2, ..., aq), за его вес (или длину, или стоимость) принимается число L(M), равное сумме весов всех дуг, входящих в путь, т. е. L(M)=\sum (c_{i}) для всех a_{i}  \in   M.

Длиной (или мощностью ) пути называется число дуг, входящих в него. Чаще всего термин "длина" употребляется, когда все дуги, входящие в путь, имеют веса, равные 1, т. е. когда вес пути совпадает с его длиной (мощностью).

Взвешенные графы:  а – граф со взвешенными дугами;  б – граф со взвешенными вершинами; в – взвешенный граф

Рис. 8.2. Взвешенные графы: а – граф со взвешенными дугами; б – граф со взвешенными вершинами; в – взвешенный граф

Граф со взвешенными вершинами – это граф, описываемый тройкой

G = ( X, А, V ),

где Х = { хi }, i = 1, 2, ..., n множество вершин графа;

А = { ai }, i = 1, 2, ..., m – множество дуг графа;

V ={ vi }, i = 1, 2, ..., n – множество характеристик вершин.

В качестве характеристик вершин могут выступать "стоимость", "мощность", "вес" и т. п. Пример такого графа приведен на рис. 8.2,б. Для графа со взвешенными вершинами в случае представления пути последовательностью вершин весом пути является сумма весов, входящих в этот путь вершин.

И наконец, взвешенный граф определяется четверкой вида G = (Х, А, V, С), т. е. и дуги, и вершины этого графа имеют некоторые характеристики.

Область применения взвешенных графов в качестве моделей довольно обширна: транспортные задачи, задачи оптимизации сети связи и системы перевозок и др. Одной из известнейших оптимизационных задач является нахождение кратчайших путей в графе со взвешенными дугами.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Дмитрий Щелков
Дмитрий Щелков

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?

Константин Дементьев
Константин Дементьев
Россия, г. Мичуринск
Наталья Горбунова
Наталья Горбунова
Россия, Черноголовка