Лекция 7: Методы разбиения графа на максимальные сильно связные подграфы

Матричный метод разбиения

Метод разбиения графа на максимальные сильно связные подграфы по матрицам достижимости R и контрдостижимости Q состоит в следующем.

1. По матрице смежности строится матрица достижимости R. Используя операцию транспонирования, находим матрицу контрдостижимости Q.
2. Находится матрица C = { с_ij }, i,j = 1, 2, 3, ..., n, где n – число вершин исходного графа, а каждый элемент , т. е. матрица C получается поэлементным логическим умножением матриц R и .
3. Элементы, имеющие одинаковые строки и столбцы в матрице С группируем перестановкой строк и столбцов, получаем блочно диагональную матрицу С_в , где каждая группа элементов и есть максимальный сильно связный подграф.

Рассмотрим пример разбиения для графа, представленного на рис. 7.1,а. Как следует из определения матрицы R для ее нахождения следует для каждой вершины найти прямое транзитивное замыкание. Если некоторая x_j вершина графа входит в транзитивное замыкание T⁺(х_i), то элемент матрицы R r_ij =1. Полученные таким образом матрицы R и Q показаны на таблица 7.7а и таблица 7.7б. В результате логического умножения получили матрицу С ( таблица 7.7в), в которой находим одинаковые строки. Например, для вершины х₁ строка совпадает с седьмой и одиннадцатой. Следовательно, вершины х₁, х₇, х₁₁ группируем вместе и они составляют первый выделенный подграф. Как видим из блочнодиагональной матрицы ( таблица 7.7г) полученные подграфы совпадают с результатом разбиения по методу Мальгранжа .