Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2635 / 494 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Многозначные отображения и транзитивные замыкания

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Аннотация: Рассматриваются прямые и обратные отображения для орграфов различных порядков. Даются понятия прямого и обратного транзитивного замыкания и способы нахождения транзитивных замыканий по матрице смежности. Цель лекции: Дать представление о многозначных отображениях и транзитивных замыканиях и способах их нахождения.

Многозначные отображения

Прямые отображения

Прямым отображением 1-го порядка вершины хi является множество таких вершин графа, для которых существует дуга i, xj), т. е Г^{1}( х_{i} ) = \{ x_{j} : \exists \  дуга (х_{i}, x_{j}) \in  A\} для графа G = (X, A), где X ={ хi }, i =1, 2, ..., n – множество вершин, а A = {ai}, i = = 1, 2, ..., m – множество дуг.

Прямое отображение 2-го порядка вершины хi – это прямое отображение от прямого отображения 1-го порядка, т. е. Г+2( хi ) = Г+( Г+1 ( хi ) ).

Аналогично можно записать для прямого отображения 3-го и т. д. n -го порядка.

Г+3(xi)= Г++2(xi))= Г+++1(xi)))

...

Г+n(xi)=Г++(n-1)(xi)).

Орграф G

Рис. 3.1. Орграф G

Прямые многозначные отображения для графа на рис. 3.1 находятся следующим образом:

Г+1(x1)=(x2,x3),

Г+2(x1)=Г++1(x1))=Г+(x2,x3)=(x3,x5),

Г+3(x1)=Г++2(x1))=Г+(x3,x5)=(x3,x1) и т. д.

Обратные отображения

Обратным отображением 1-го порядка для вершины хi является множество элементов xj таких, что существует дуга (xj, хi), принадлежащая множеству дуг графа, т. е. Г^{-1}(х_{i} ) = \{  x_{j} : \exists  \ дуга (х_{j}, х_{i}) \in  А \}.

Обратные отображения 2-го, 3-го и т. д. n -го порядка определяются следующим образом:

Г-2(xi)= Г--1(xi)),

Г-3(xi)= Г--2(xi)),

...

Г-n(xi)= Г-(n-1)(xi)).

Для графа на рис. 3.1 обратные многозначные отображения вершины х1 находятся следующим образом:

Г-1(x1)=x5,

Г-2(x1)= Г--1(x1))=Г-(x5)= x2,x4,

Г-3(x1)= Г--2(x1))=Г-(x2x4)= x1,

Г-4(x1)= Г--3(x1))=Г-(x1)= x5 и т.д.

П р и м е ч а н и я:

1. Когда отображение действует не на одну вершину, а на множество вершин Хq = { х1, х2, ..., хq }, то под Г(Хq) понимают объединение

Г(х_{1}) \cup  Г(х_{2}) \cup  \dots  \cup Г(х_{q}).

2. Многозначное отображение для неориентированного графа строится, если представить каждое ребро двумя противоположно направленными дугами ( рис. 3.2).

Граф:  а – неориентированный; б – тождественный ему ориентированный

Рис. 3.2. Граф: а – неориентированный; б – тождественный ему ориентированный
< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Дмитрий Щелков
Дмитрий Щелков

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?