Операции над графами

Рассмотрим семь операций над графами, три из которых являются бинарными, включающими два графа, а остальные четыре – унарные, т. е. определены на одном графе.

Объединение графов G₁ и G₂ , обозначаемое как , представляет такой граф , что множество его вершин является объединением Х₁ и Х₂ , а множество ребер – объединением A₁ и A₂ . Граф G₃ , полученный операцией объединения графов G₁ и G₂ , показан на рис. 2.1,д, а его матрица смежности – на рис. 2.1,е. Матрица смежности результирующего графа получается операцией поэлементного логического сложения матриц смежности исходных графов G₁ и G₂ .

Рис. 2.1.

Пересечение графов G₁ и G₂ , обозначаемое как , представляет собой граф . Таким образом, множество вершин графа G₄ состоит из вершин, присутствующих одновременно в G₁ и G₂ . Операция пересечения графов показана на рис. 2.2,в, а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического умножения матриц смежности исходных графов G₁ и G₂ . показана на рис. 2.2.г.

Рис. 2.2.

Рис.2.2. Операция пересечения и кольцевой суммы: а – граф G₁ ; б – граф G₂ ; в – граф ; г – матрица смежности графа ; д – граф ; е – матрица смежности графа

Кольцевая сумма двух графов G₁ и G₂ , обозначаемая как , представляет собой граф G₅ , порожденный на множестве ребер . Другими словами, граф G₅ не имеет изолированных вершин и состоит только из ребер, присутствующих либо в G₁ , либо в G₂ , но не в обоих одновременно. Кольцевая сумма графов G₁ и G₂ показана на рис. 2.2,д, а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического сложения по mod 2 матриц смежности исходных графов G₁ и G₂ . показана на рис. 2.2.е.

Легко убедиться в том, что три рассмотренные операции коммутативны т. е. , и многоместны, т. е. . и так далее.

Рассмотрим унарные операции на графе.

Удаление вершины. Если х_i -вершина графа G = (X, A), то G–х_i -порожденный подграф графа G на множестве вершин X–х_i , т. е. G–х_i является графом, получившимся после удаления из графа G вершины х_i и всех ребер, инцидентных этой вершине. Удаление вершины х₃ показано на рис. 2.3,б (для исходного графа, изображенного на рис. 2.3,а). Матрица смежности исходного графа представлена на таблице 2.1а). Результирующая матрица смежности графа после выполнения операции удаления вершины х_i получается путем удаления соответствующего i - го столбца и i -ой строки из исходной матрицы и "сжимания" матрицы по вертикали и горизонтали начиная с (i+1) - го столбца и (i+1) -ой строки ( таблица 2.1б). В дальнейшем элементы графа могут быть переобозначены.

Рис. 2.3.

Удаление ребра или удаление дуги. Если a_i - дуга графа G = (X, A), то G-a_i – подграф графа G, получающийся после удаления из G дуги a_i . Заметим, что концевые вершины дуги a_i не удаляются. Удаление из графа множества вершин или дуг определяется как последовательное удаление определенных вершин или дуг. Удаление дуг a₄ и a₇ показано на рис. 2.3,в. Результирующая матрица смежности графа после выполнения операции удаления дуги a_i получается путем удаления соответствующих элементов из исходной матрицы ( таблица 2.1в).

Замыкание или отождествление. Говорят, что пара вершин х_i и x_j в графе G замыкается (или отождествляется), если они заменяются такой новой вершиной, что все дуги в графе G, инцидентные х_i и x_j , становятся инцидентными новой вершине. Например, результат замыкания вершины х₁ и х₂ показан на рис. 2.3,г для графа G ( рис. 2.3,а). Матрица смежности графа после выполнения операции замыкания вершин х_i и x_j получается путем поэлементного логического сложения i - го и j - го столбцов и i -ой и j - строк в исходной матрице и "сжимания" матрицы по вертикали и горизонтали ( таблица 2.1г).

Стягивание. Под стягиванием подразумевают операцию удаления дуги или ребра и отождествление его концевых вершин. Граф, изображенный на рис. 2.3,д получен стягиванием дуги a₁ , а на рис. 2.3,е – стягиванием дуг a₁ , a₆ и a₇ . Соответствующие результирующие матрицы смежности показаны в таблицах 2.1д и 2.1е.