Вычислимые функции, тезис Тьюринга-Черча и неразрешимые проблемы

Моделирование структурированных программ машинами Тьюринга

На первый взгляд могло показаться, что машины Тьюринга с их примитивными элементарными действиями являются более слабыми вычислительными моделями, чем структурированные программы. Но после того, как мы научились реализовывать с их помощью операторы "высокого уровня " - условия и циклы, уже не удивительно, что они позволяют вычислить не меньше, чем структурированные программы.

Теорема 10.2. Всякая арифметическая функция, вычислимая некоторой структурированной программой, может быть вычислена также некоторой машиной Тьюринга.

Доказательство Пусть структурированная программа вычисляет арифметическую функцию f(x₁, ..., x_n). Не ограничивая общности, будем считать, что , x_n+1, ..., x_m } и что результирующей переменной является x₁. М.Т. , моделирующая будет иметь m -этажную ленту с алфавитом . Обозначим конфигурацию ленты M_\Pi, в которой на i -ом этаже, начиная с 1-ой ячейки, записано слева направо k_i символов '|' (i = 1, 2, ..., m), а далее идут "пустышки " как (k₁, k₂, ..., k_m). Тогда состоянию программы будет соответствовать конфигурация ленты : .

получается с помощью конструкций последовательной композиции, условного оператора и цикла из простых машин Тьюринга, реализующих элементарные присваивания и условия структурированных программ.

Команду x_i := 0 (i=1,... , m) программы реализует м.Т. Mⁱ₀ , обнуляющая i -ый этаж M, т.е. переводящая любую конфигурацию (k₁,..., k_i-1,k_i, k _i+1 ..., k_m) в конфигурацию (k₁,..., k _i-1, 0, k_i+1, ... , k_m). Команду x_i := x_i +1 (i=1,... , m) программы реализует м.Т. Mⁱ₊₁ , добавляющая один символ ' | ' справа на i -ом этаже, т.е. переводящая любую конфигурацию (k₁,..., k _i-1, k_i, k_i+1 ... , k_m) в конфигурацию (k₁,..., k _i-1, k_i+1, k_i+1, ... , k_m). Команду x_i := x_j (i, j=1,... , m) программы реализует м.Т. M^ij, переписывающая содержимое j -го этажа на i -ый, т.е. переводящая любую конфигурацию (k₁,..., k_i, ..., k_j, ... , k_m) в конфигурацию (k₁,..., k_j, ... , k_j, ... , k_m).

Условие x_i = x_j реализуется машиной , которая, работая на конфигурации (k₁, ..., k_i, ..., k_j, ... , k_m) выдает 0, если k_i=k_j, и 1 - в противном случае.

Условие x_i < x_j реализуется машиной , которая, работая на конфигурации (k₁, ..., k_i, ..., k_j, ... , k_m) выдает 0, если k_i < k_j, и 1 - в противном случае.

Далее по индукции: пусть и - структурированные программы, для которых построены соответствующие машины Тьюринга и , а - некоторое условие, реализуемое м.Т. . Тогда программа реализуется машиной программа если то иначе конец реализуется машиной , а программа пока делай все реализуется машиной while do enddo.

Используя доказанные выше свойства конструкций машин Тьюринга, нетрудно проверить по индукции следующее

Утверждение 1. Пусть м.Т. реализует в соответствии с приведенными определениями структурированную программу Тогда для любого состояния программы тогда и только тогда, когда м.Т , начав работу в конфигурации завершит ее в конфигурации .

Теперь для завершения доказательства теоремы достаточно взять в качестве результирующей следующую м.Т.: , где м.Т. M_start переводит одноэтажную начальную конфигурацию в m -этажную конфигурацию (x₁, x₂,..., x_n, 0,..., 0), а м.Т. M_end заключительную m -этажную конфигурацию (x₁, 0,..., 0) переводит в одноэтажную заключительную конфигурацию |^x1.