Введение в математическое программирование
[+]
Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3115 / 710 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Программист
Теги: beta, анализ, базисное решение, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, законы, искусственная жизнь, исследования, метод полного исключения, моделирование, нелинейное программирование, оптимальный план, поиск, программирование, симплекс, симплекс-метод, функция лагранжа, экстремум функции, электронная почта, элементы
Лекция 2:

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
A
|
версия для печати
< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

3. Колебания колец Сатурна. Построим модель движения точечной массы М0 в поле сил тяготения, создаваемом материальным кольцом с радиусом R0 линейной плотностью р0. Кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца (рис. 2.3).


Рис. 2.3.

Данная схема может рассматриваться как идеализация процесса колебаний колец Сатурна. Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственное использование закона всемирного тяготения

F=\gamma \frac{m_0 m_1}{r^2},
где F - сила притяжения двух тел, имеющих массы m0 и m1, r - расстояние между ними, \gamma - постоянная тяготения, не может дать окончательной модели движения колец Сатурна, так как массы m0, m1 должны быть точечными.

Поэтому вычислим сначала силу притяжения между точечной массой M0 и массой dm, содержащейся в малом элементе кольца dl, которую уже можно считать точечной:

dF=\gamma \frac{M_0 dm}{R^2}.

Здесь R, r - соответственно расстояние от массы М0 до кольца и до центра кольца. Очевидно, что при 0 \le \alpha \le \pi / 2 (для \pi / 2 \le \alpha \le 2 \pi выкладки аналогичны)

\frac{R_0}{R} = \sin \alpha = \frac{R_0}{\sqrt{r^2 + R^2_0}}, \qquad \frac{r}{R} = - \cos \alpha = \frac{r}{\sqrt{r^2 + R^2_0}}.

Поскольку

dm = \rho dl = \rho_0 R_0 d\beta = -\rho_0 r \tg \alpha d \beta,
то
dF = -\gamma \frac{M_0 \rho_0}{R^2} r \tg \alpha \, d \beta = -\gamma\frac{M_0 \rho_0}{r} \sin\alpha \, \cos \alpha \, d \beta

Найдем проекцию силы dF на ось r (именно эта проекция определяет интересующее нас движение):

dF_{\perp} = dF \cos \alpha = -\gamma\frac{M_0 \rho_0}{r} \sin\alpha \, \cos^2 \alpha \, d \beta

Просуммировав теперь силы тяготения, создаваемые всеми элементами кольца, т.е. взяв интеграл от dF_{\perp} по \beta от \beta = 0 до \beta = 2\pi, найдем результирующую силу:

F = -2 \pi \gamma \frac{M_0 \rho_0}{r} \sin \alpha \, \cos^2 \alpha = - \gamma M_0 M_1 \frac{r}{(r^2 + R^2_0)^{^3 \! / _2}} ( 3)
где M_0 = 2\pi/R_0 \rho_0 - полная масса кольца. Как и в предыдущем пункте, горизонтальная проекция результирующей силы равна нулю из-за симметричного расположения кольца относительно массы М0.

Сила тяготения (3) существенно отличается от выражения, даваемого законом для точечных масс, переходя в него лишь при r \gg R_0, когда кольцо можно уподобить точечной массе благодаря большому, в сравнении с размерами кольца, расстоянию между тяготеющими телами. Если же r \ll R_0, то

F= - \gamma \frac{M_0 M_1}{R^3_0} \, r,
и сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами.

Применив к массе М0 второй закон Ньютона, получим уравнение ее движения вдоль оси r:

\frac{d^2r}{dt^2} = -\gamma M_1 \frac{r}{(r^2 + R^2_0)^{^3 \! / _2}}
которое, в отличие от п.1 и п.2, существенно нелинейно и становится линейным лишь при r \ll R_0:
\frac{d^2r}{dt^2} = -\gamma \frac{M_1}{R^3_0} \, r. ( 4)

4. Заключение.

  1. Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.
  2. Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию).
  3. Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).
  4. Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели.
Дальше >>
< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0