Проблема представления данных

Дробные p-адические числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дробь вида , , k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и , определяют одно и тоже p -адическое число, если в .

Совокупность всех p -адических чисел обозначается R_p. Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с O_p на R_p и превращают R_p в поле.

2.9. ТЕОРЕМА. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде

( 2.8)

где m — целое число, а — единица кольца O_p.

2.10. ТЕОРЕМА. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде

( 2.9)

где .

Аксиоматическая характеристика поля p-адических чисел.

Выбрав некоторое вещественное число такое, что , (например, ) положим

( 2.10)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , , определенная условиями (2.10), называется - адической метрикой . Значение называется величиной - адического числа в этой метрике.

Как и в случае показателя, функцию иногда будем называть просто метрикой и обозначать

Легко проверяется, что p -адическая метрика обладает следующими свойствами:

( 2.11)

( 2.12)

( 2.13)

Свойства (2.11) и (2.13) указывают, что введенное понятие является аналогом абсолютной величины в поле вещественных чисел.

2.12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть k — произвольное поле. Функция определенная на элементах поля k и принимающая вещественные значения , называется метрикой поля k, если она обладает следующими свойствами:

1. при ; ;
2. ;
3. .

Поле k вместе с заданной в нем метрикой называется метризованным полем.

Из определения легко вытекают следующие свойства метрик:

Метриками являются:

1. абсолютная величина в поле рациональных чисел;
2. абсолютная величина в поле вещественных чисел;
3. модуль в поле комплексных чисел;
4. - адическая метрика в поле - адических чисел ;
5. функция , определенная в произвольном поле условиями: , при . Такая метрика называется тривиальной.

Если метрику поля мы рассматриваем лишь на рациональных числах, то получаем некоторую новую метрику поля рациональных чисел . Эта метрика, обозначаемая также через , называется - адической метрикой поля .

Аксиоматически поля вещественных и -адических чисел можно определить следующим образом.

Поле вещественных чисел — это пополнение поля рациональных чисел по метрике 1.

Поле - адических чисел — это пополнение поля рациональных чисел по - адической метрике.

2.14. УПРАЖНЕНИЕ. Представить число -1 в поле p -адических чисел в виде ряда (2.9).

2.15. УПРАЖНЕНИЕ. Представить число в поле 5-адических чисел в виде ряда (2.9).

2.16. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать для многочленов над полем p -адических чисел признак неприводимости Эйзенштейна: многочлен f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + · · · + a_n с целыми p -адическими коэффициентами неприводим над полем R_p, если a₀ не делится на p, все остальные коэффициенты a₁, . . . , a_n делятся на p и свободный член a_n, делясь на p, не делится на p².