Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3534 / 125 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 16:

Потоки

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234

Введем некоторые вспомогательные понятия и установим два полезных соотношения. Пусть X\subseteq V, \overline{X}=V-X. Множество всех ребер, у которых начальная вершина принадлежит X, а концевая - \overline{X}, обозначим через (X,\overline{X}). Пропускной способностью множества (X,\overline{X}) называется сумма пропускных способностей всех его ребер, она обозначается через c(X). Если f - поток, то для каждого множества X\subseteq V можно определить величину f(X)=\suml_{e\in (X,\bar{X})}f(e). Очевидно, для любого множества X и любого потока f выполняется неравенство f(X)\le c(X). Множество (X,\overline{X}) называется разрезом, если s\in X, t\in \overline{X}.

Лемма 1. Для любого потока f и любого разреза (X,\overline{X}) выполняется равенство M(f)=f(X)-f(\overline{X}).

Доказательство. Рассмотрим величину S=\suml_{x\in X}\mathop{\rm div}\nolimits_{f} (x). Так как дивергенция во внутренних вершинах равна нулю, то эта сумма равна дивергенции источника, то есть величине потока M(f). С другой стороны, рассмотрим вклад, вносимый в эту сумму некоторым ребром e=(x,y). Он зависит от того, в каком отношении к множеству X находится это ребро:

  1. если e\in (X,\overline{X}), то в сумму S входит слагаемое \mathop{\rm div}\nolimits_{f}(x), которое, в свою очередь, является суммой и содержит слагаемое f(e) со знаком плюс; это единственное в данном случае вхождение f(e) в S, так что вклад ребра e равен f(e) ;
  2. если e\in (\overline{X},X), то в S входит слагаемое \mathop{\rm div}\nolimits_{f} (y), которое, в свою очередь, содержит слагаемое f(e) со знаком минус; вклад ребра e в этом случае равен -f(e) ;
  3. если ребро соединяет две вершины из X, то в сумме S присутствуют оба слагаемых f(e) и -f(e) и суммарный вклад такого ребра равен нулю;
  4. ребро, соединяющее две вершины из \overline{X}, в сумме S вообще не представлено.

Отсюда следует, что S=\suml_{e\in (X,\overline{X})}f(e) -
\suml_{e\in (\overline{X},X)}f(e) =f(X)-f(\overline{X}).

Лемма 2. Для любого потока f и любого разреза (X,\overline{X}) имеет место неравенство M(f)\le
c(X).

Доказательство. Это следует из леммы 1 и неравенств f(X)\le c(X), f(\overline{X})\ge 0.

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234
Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?

Александр Лаврентьев
Александр Лаврентьев

много инструкций вида if - then - else

Например Procedure DFS(a) опишите каким образом следует понимать вложенность инструкций. Как в языке С ? 

т.е. следующее 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

else(...)

 

раскрывается как 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

         else(...)

или так :

if (...) then

 {  (...)

     if (...) then (...)

              else(...)

}

обьясните пожалуйста.

 

 

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург